Extremwertprobleme und Analyse von Ableitungsfunktionen
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1.6 In der nebenstehenden Abbildung schließen das zur y-Achse symmetrische Schaubild $K_g$ der Funktion $g$ und die x-Achse eine Fläche ein. In diese wird ein achsenparalleles Rechteck eingeschrieben.
Geben Sie eine Zielfunktion an, mit deren Hilfe das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt bestimmt werden kann. (3 Punkte)
1.7 Das Schaubild $K_g$ aus 1.6 ist das Schaubild der Ableitungsfunktion der Funktion $h$, es gilt also $h' = g$. Treffen Sie Aussagen über die Lage und Anzahl der Wendestellen von $h$. (3 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse. Das Schaubild $K_g$ zeigt eine zur y-Achse symmetrische Funktion $g$. Die Kurve verläuft hauptsächlich unterhalb der x-Achse in einem Tal-ähnlichen Verlauf, schneidet die x-Achse an zwei symmetrischen Stellen und verläuft außerhalb dieser Stellen oberhalb der x-Achse. Der Tiefpunkt liegt auf der y-Achse im negativen Bereich.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns das Schaubild der Funktion g an. Wir sollen eine Zielfunktion fuer ein Rechteck mit maximalem Flaecheninhalt finden, das zwischen dem Graphen und der x Achse liegt.
Aufgabe 1.6: Zielfunktion aufstellen
Das Schaubild K index g ist symmetrisch zur y Achse. Wir sehen, dass der Graph unterhalb der x Achse verlaeuft.
Ein achsenparalleles Rechteck wird in die Flaeche zwischen dem Graphen und der x Achse eingeschrieben. Wegen der Symmetrie waehlen wir einen Punkt x auf der positiven x Achse.
Die Breite des Rechtecks betraegt also zwei x. Die Hoehe entspricht dem Betrag des Funktionswerts, also minus g von x, da g von x hier negativ ist.
Der Flaecheninhalt A in Abhaengigkeit von x berechnet sich aus Breite mal Hoehe. Das ergibt zwei x mal minus g von x.
Vereinfacht erhalten wir die Zielfunktion minus zwei x mal g von x.
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