Extremwertaufgabe: Maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks

Question

$K_g$ ist das Schaubild der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{4}{3}x^2, x \in \mathbb{R}$.

Für $0 < u < 6$ liegen die Punkte $A(-u | g(-u))$ und $B(u | g(u))$ auf $K_g$ und die Punkte
$C(u | 48)$ und $D(-u | 48)$ auf der Geraden mit der Gleichung $y = 48$.
Die Punkte $ABCD$ bilden ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck.

4.4 Zeichnen Sie $K_g$ und die Gerade $-6 \le x \le 6$ sowie das Rechteck $ABCD$ für $u = 3$. (5 Punkte)

4.5 Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$. (5 Punkte)

Solvi · Accepted Answer

In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit einer Parabel g von x und einem Rechteck, das durch die Punkte A, B, C und D definiert ist. Wir sollen den maximalen Flächeninhalt dieses Rechtecks berechnen. Betrachten wir zunächst die Eckpunkte des Rechtecks. Die Punkte A und B liegen auf der Parabel, während C und D auf der Geraden y gleich achtundvierzig liegen. Um den Flächeninhalt zu berechnen, benötigen wir die Breite und die Höhe des Rechtecks. Da das Rechteck symmetrisch zur y-Achse ist, reicht die Breite von minus u bis plus u. Die Höhe ist die Differenz der y-Werte. Da y gleich achtundvierzig oben liegt, subtrahieren wir den Funktionswert g von u davon. Jetzt stellen wir die Zielfunktion für den Flächeninhalt A in Abhängigkeit von u auf. Fläche ist gleich Breite mal Höhe. Multiplizieren wir den Ausdruck aus, um die Ableitung später leichter berechnen zu können. Um das Maximum zu finden, bilden wir die erste Ableitung nach u. Wir setzen die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Stellen im Intervall von null bis sechs zu finden. Wir lösen nach u quadrat auf, indem wir sechsundneunzig durch acht teilen.

Extremwertaufgabe: Maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks

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