Exponentialgleichungen und Stammfunktionen
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Aufgabe 1 (Variante 2) (30 Punkte)
1.1 Lösen Sie die Gleichung $8e^{2x} - 4e^x = 0$. (4 Punkte)
1.2 Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 4x^3 + x^2 - 1$, $x \in \mathbb{R}$.
Das Schaubild einer Stammfunktion $F$ von $f$ verläuft durch den Punkt $P(1|1)$.
Bestimmen Sie den Funktionsterm von $F$. (3 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In this video, we will solve two problems regarding exponential equations and antiderivatives. Let's start with task one point one.
Aufgabe 1
The first problem asks us to solve the equation eight e to the power of two x, minus four e to the power of x, equals zero.
1.1 Exponentialgleichung lösen
Notice that both terms contain an exponential part. Since e to the power of two x is the same as square of e to the power of x, we can factor out four e to the power of x.
According to the zero-product property, either four e to the power of x equals zero, or two e to the power of x minus one equals zero.
The exponential function is always positive, so the first case has no solution.
Now let's isolate e to the power of x in the second case. Adding one and dividing by two gives us e to the power of x equals one half.
Dividing by two leads to e to the x power equals zero point five.
To solve for x, we take the natural logarithm of both sides. This gives us x equals the natural log of one half, which can also be written as negative natural log of two.
Moving on to task one point two. We are given a function f of x equals four x cubed plus x squared minus one, and we need to find an antiderivative F that passes through the point P at one, one.
1.2 Stammfunktion bestimmen
Punkt: $P(1|1)$
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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