Étude d'une suite numérique et limite

Salut Jean, résolvons cet exercice sur les suites ensemble.

Commençons par la première question : démontrons que la suite u indice n est croissante en étudiant la différence u indice n plus un, moins u indice n.

On remplace u indice n plus un par sa définition donnée par l'énoncé.

On met tout sur le même dénominateur pour pouvoir réunir les termes.

On développe l'expression au numérateur.

Les termes deux u indice n s'annulent, ce qui nous laisse un, moins u indice n au carré, au numérateur.

Pour déterminer le signe de cette fraction, on utilise l'hypothèse de l'énoncé : pour tout n, u indice n est compris entre zéro et un.

Par conséquent, u indice n au carré est inférieur ou égal à un, ce qui rend le numérateur de notre fraction positif ou nul. Et le dénominateur est strictement positif puisqu'on y ajoute deux. Le rapport est donc positif.

La différence étant positive, on en déduit que la suite u indice n est croissante.

Pour la question un b, on nous demande d'en déduire la convergence de la suite.

Nous venons tout juste d'établir que la suite est croissante.

De plus, d'après les données du problème, tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à un. La suite est donc majorée par un.

Or, le théorème de la limite monotone stipule que toute suite croissante et majorée est convergente. Cette suite est donc convergente.

Passons à la partie deux. Il faut majorer la valeur absolue de la dérivée de f sur l'intervalle zéro, un.

C'est une fonction rationnelle classique de la forme u sur v. On la dérive avec la formule u prime v moins u v prime, le tout sur v au carré.

En développant le numérateur, on obtient deux x plus quatre, moins deux x, moins un.

Les termes en x s'éliminent entre eux, et il reste simplement trois.

Cherchons maintenant à encadrer l'expression de f prime de x pour x appartenant à l'intervalle fermé zéro, un.

On ajoute deux sur chaque membre de l'inégalité.

Puis on élève au carré. La fonction carré étant strictement croissante sur les réels positifs, on conserve le sens des inégalités.

En passant à l'inverse, on change l'ordre des inégalités. Un quart vient à droite, un neuvième vient à gauche.

Enfin, on multiplie par trois pour faire apparaître l'expression complète de notre dérivée.

On constate que f prime de x est une quantité positive, et majorée par trois quarts sur cet intervalle. Sa valeur absolue vérifie donc la même inégalité.