Étude d'une suite numérique et limite
Published:
EXERCICE 4 (3 points) On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $\begin{cases} u_0 = 0 \\ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \dfrac{2u_n+1}{u_n+2} \end{cases}$. On admet que : $\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq u_n \leq 1$. 1. a) Démontre que la suite $(u_n)$ est croissante. b) Déduis-en que la suite $(u_n)$ est convergente. 2. Soit la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x) = \dfrac{2x+1}{x+2}$. a) Démontre que : $\forall x \in [0 ; 1], |f'(x)| \leq \dfrac{3}{4}$. b) En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontre que : $\forall n \in \mathbb{N}, |u_{n+1} - 1| \leq \dfrac{3}{4}|u_n - 1|$. c) Démontre par récurrence que : $\forall n \in \mathbb{N}, |u_n - 1| \leq \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$. d) Déduis-en la limite de la suite $(u_n)$.
Animated Video Solution
The first half plays free, the full solution is in the app.
Step by Step Written Solution
Bonjour ! Aujourd'hui, nous allons résoudre cet exercice sur les suites numériques et l'inégalité des accroissements finis. Commençons par analyser l'énoncé.
Exercice sur les suites
On nous donne une suite u indice n définie par u zéro égale zéro et une relation de récurrence. On admet aussi que tous les termes de la suite sont compris entre zéro et un.
Pour la question un a, étudions la croissance de la suite. Calculons la différence entre deux termes consécutifs.
1. a) Monotonie de la suite
Mettons tout au même dénominateur pour simplifier l'expression.
En développant le numérateur, nous obtenons deux u n plus un moins u n au carré moins deux u n.
Les termes en deux u n s'annulent. Il reste un moins u n au carré au numérateur.
Comme u n est entre zéro et un, un moins u n au carré est positif ou nul, et le dénominateur est positif. La suite est donc croissante.
Pour la question un b, la suite est croissante et majorée par un. Selon le théorème de convergence monotone, elle est donc convergente.
1. b) Convergence
Passons à la question deux. Soit f la fonction associée à la récurrence. Calculons sa dérivée.
2. a) Étude de la dérivée
En simplifiant, nous trouvons f prime de x égale trois sur x plus deux au carré.
The rest of this solution is on Solvi
9 more steps are locked. Watch the full animated, narrated solution for free.
Snap a photo, solve any question like this.
Watch the Rest for Free
Free to download · First solutions are on us
