Étude complète d'une fonction rationnelle
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Exercice 1
On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ telle que : $f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}$
$(C)$ désigne la courbe représentative dans le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
1) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$
2) Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
3) Calculer la dérivée $f'$ de $f$ puis donner son signe.
4) Dresser le tableau de variation de $f$
5) Déterminer les nombres $a$, $b$ et $c$ tels que : $f(x) = ax + b + \frac{c}{x-1}$.
6) Déterminer les branches infinies à $(C)$
7) Préciser la position de $(C)$ par rapport à l'asymptote oblique.
8) Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ de $(C)$ par rapport à l'axe des ordonnées
9) Montrer que le point $I$ est le centre de symétrie à la courbe $(C)$.
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Bonjour à tous. Aujourd'hui, nous allons faire l'étude complète d'une fonction rationnelle. On nous donne la fonction f de x égale x au carré plus x moins un, le tout sur x moins un.
Étude de fonction
Premièrement, déterminons l'ensemble de définition. La fonction existe si et seulement si son dénominateur est non nul.
1) Ensemble de définition
Donc, x moins un doit être différent de zéro, ce qui signifie que x est différent de un.
Calculons maintenant les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Commençons par moins l'infini.
2) Limites
De même, pour plus l'infini, la limite est égale à plus l'infini car les termes de plus haut degré dominent.
Pour la limite en un, calculons les limites à gauche et à droite. Le numérateur tend vers un au carré plus un moins un, soit un. Le dénominateur tend vers zéro.
Passons à la dérivée. Nous utilisons la formule u sur v.
3) Dérivée et signe
Développons le numérateur. Nous obtenons deux x au carré moins deux x plus x moins un, moins x au carré moins x plus un.
En simplifiant, il reste x au carré moins deux x au numérateur.
Le signe de f prime dépend du numérateur car le dénominateur est un carré.
4) Tableau de variation
| x | -\infty | 0 | 1 | 2 | +\infty | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | - | 0 | + | |
| f(x) | \nearrow | 1 | \parallel | \searrow | 3 | \nearrow |
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