Düzgün Dörtyüzlüde Karınca Problemi
Yayınlanma:
28. Bir düzgün dörtyüzlünün A, B, C ve D köşelerinde birer karınca bulunmaktadır. Bu karıncalardan her biri bulundukları köşelerden çıkan ayrıtlardan birini rastgele seçip bu ayrıtlar boyunca yürümeye başlıyor ve ayrıtın diğer köşesine ulaştığında da duruyor. Buna göre, bu dört karıncanın hiç birinin birbiriyle karşılaşmama olasılığı kaçtır? A) $1/9$ B) $4/81$ C) $1/27$ D) $2/27$ E) $4/27$
Soruda görsel içerik var: Düzgün dörtyüzlü (piramit benzeri üçgen tabanlı cisim) çizimi gösterilmektedir. Dört köşe A, B, C ve D olarak etiketlenmiştir. A köşesi üstte, B, C ve D köşeleri tabandadır. Her köşede bir karınca figürü yer almaktadır. A ile B, A ile C, A ile D, B ile C, C ile D ve B ile D köşeleri arasında kenarları temsil eden çizgiler mevcuttur.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Emin, seninle birlikte bu harika olasılık sorusunu adım adım çözelim. Soruda, bir düzgün dörtyüzlünün köşelerinde bulunan dört karıncanın, rastgele birer ayrıt seçip yürüyerek birbirleriyle karşılaşmama olasılığı soruluyor.
Karıncaların Karşılaşmama Olasılığı
İlk olarak, düzgün dörtyüzlümüzü çizelim ve karıncalarımızın başlangıç konumlarını gösterelim.
Düzgün Dörtyüzlü ve Köşeler
Her bir köşeden çıkan tam üç adet ayrıt vardır. Örneğin, A köşesindeki karınca B, C veya D köşelerine gidebilir. Dolayısıyla her bir karınca için üç farklı seçenek bulunur.
Tüm Durumların Sayısı
Dört karınca da bağımsız kararlar verdiği için, tüm olası durumların sayısını üç üssü dört, yani seksen bir olarak buluruz.
Şimdi ise karıncaların karşılaşmaması için gereken koşulları inceleyelim.
Karşılaşmama Koşulları
1. Aynı köşeye gitmemelidirler: Eğer iki karınca aynı köşeyi seçerse, en azından hedefte karşılaşırlar. Dolayısıyla, her karınca farklı bir köşeye gitmelidir. Bu durum, varış noktalarının başlangıç noktalarının bir permütasyonu olmasını gerektirir.
2. Kendilerinde kalamazlar: Karıncalar mutlaka hareket etmelidir, yani sabit nokta yoktur (deranjman).
Ayrıca, iki karınca birbiriyle yer değiştiremez. Örneğin, A'daki karınca B'ye, B'deki karınca da A'ye giderse, yol üzerinde karşılaşırlar. Yani iki elemanlı döngüler olmamalıdır.
3. Karşılıklı yer değiştiremezler: İki elemanlı döngü ($X \leftrightarrow Y$) olmamalıdır.
Dört elemanlı bir kümede sabit noktası ve iki elemanlı döngüsü olmayan tek permütasyon türü, dört elemanlı tek bir büyük döngüdür. Yani karıncaların yolları dairesel bir sıra izlemelidir.
Uygun Durumlar: 4'lü Döngüler
Sadece 4'lü döngü biçimindeki rotalar karşılaşmayı engeller.
Örnek rota: $A \to B \to C \to D \to A$
Gelin bu örnek rotayı dörtyüzlü üzerinde çizerek görelim. A'dan B'ye, B'den C'ye, C'den D'ye ve D'den A'ya giden yolları oklarla gösterelim.
Gördüğün gibi, karıncalar aynı anda hareket ettiğinde her biri farklı bir ayrıt üzerindedir ve hiçbir noktada yolları çakışmaz. Dolayısıyla hiç karşılaşmazlar.
Peki bu şekilde kaç farklı dörtlü döngü oluşturabiliriz? Şimdi bunu hesaplayalım.
Döngü Sayısı Hesabı
Dört elemanlı bir kümede oluşturulabilecek dairesel döngü sayısı dairesel permütasyon formülü ile hesaplanır.
Dört eleman için dairesel permütasyon sayısı, dört eksi bir faktöriyel, yani üç faktöriyeldir.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
