Düzgün Dörtyüzlüde Karınca Olasılık Problemi
Yayınlanma:
Bu karıncalardan her biri bulundukları köşelerden çıkan ayrıtlardan birini rastgele seçip bu ayrıtlar boyunca yürümeye başlıyor ve ayrıtın diğer köşesine ulaştığında da duruyor. Buna göre, bu dört karıncanın hiç birinin birbiriyle karşılaşmama olasılığı kaçtır?
Soruda görsel içerik var: Şekil, köşeleri A, B, C ve D olarak adlandırılmış bir düzgün dörtyüzlüden oluşmaktadır. A, B, C ve D köşelerinin her birinin üzerinde birer karınca yer almaktadır. D noktası dörtyüzlünün iç kısmında bir tepe noktası gibi görünmekte olup, D'den A, B ve C köşelerine giden kenarlar kesikli çizgilerle, tabandaki B ve C köşeleri ile diğer dış kenarlar düz çizgilerle belirtilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Emin. Bu videoda seninle birlikte düzgün dörtyüzlü üzerindeki karıncaların karşılaşmama olasılığını adım adım hesaplayacağız.
Karıncaların Karşılaşmama Olasılığı
İlk olarak şeklimizi ve karıncaların hareket seçeneklerini analiz edelim. Şekildeki düzgün dörtyüzlünün dört köşesi vardır: A, B, C ve D.
Her bir köşeden çıkan tam üç adet ayrıt bulunur. Dolayısıyla her bir karıncanın gidebileceği üç farklı hedef köşe vardır.
Toplamda dört adet karınca olduğuna göre, tüm olası hareket durumlarının sayısını bulalım.
Şimdi, karıncaların hiçbirinin birbiriyle karşılaşmaması için gereken koşulları belirleyelim.
Karşılaşmama Koşulları
1. İki veya daha fazla karınca aynı köşede duramaz. (Hedefler farklı olmalı)
2. İki karınca aynı ayrıt üzerinde zıt yönlerde yürüyemez.
Birinci koşula göre, karıncaların varış noktaları kümesi, başlangıç noktaları kümesinin bir permütasyonu olmalıdır. Ayrıca her karınca yer değiştirmek zorunda olduğundan, bu bir deranjman olmalıdır.
Yani, hiçbir elemanı yerinde bırakmayan bir fonksiyon tanımlamalıyız.
Dört elemanlı bir kümenin deranjmanlarını, yani sabit noktası olmayan permütasyonlarını iki gruba ayırabiliriz.
• Tip 1: Tek bir 4'lü döngü (Örneğin: $A \to B \to C \to D \to A$)
• Tip 2: İki adet 2'li döngü (Örneğin: $(A \to B, B \to A)$ ve $(C \to D, D \to C)$)
İkinci tipi inceleyelim. Eğer iki adet ikili döngü olursa, örneğin A'daki karınca B'ye, B'deki karınca da A'ya gider.
Bu durumda A ve B'deki karıncalar aynı ayrıt üzerinde karşı karşıya gelir ve çarpışırlar.
Bu yüzden, içinde ikili döngü barındıran tüm durumları elemeliyiz. Geriye sadece tek bir dörtlü döngü oluşturan durumlar kalır.
Sonuç: Sadece tek bir 4'lü döngü (Hamilton döngüsü) durumunda karşılaşma gerçekleşmez.
Şimdi karşılaşmanın gerçekleşmeyeceği bu tekli dörtlü döngü durumlarının sayısını hesaplayalım.
Uygun Durumların Sayısı
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
