Çemberin Yarıçapı ve Analitik Geometri

Selam Melisa, 2024 AYT'nin bu seçici ve güzel analitik geometri sorusuna birlikte bakalım.

Soruda on bir virgul dokuz noktasının, ye eşittir x doğrusuna yedi virgul yedi noktasında teğet bir çemberin iç bölgesinde olduğu söylenmiş. Buna göre yarıçapın en küçük tam sayı değerini bulacağız.

Öncelikle çemberin merkezi olan M noktasını bulalım. Çember y eşittir x doğrusuna B noktasında teğetse, merkezden teğet noktasına inen doğru, teğet doğrusuna diktir.

y eşittir x doğrusunun eğimi birdir. Dik olan doğrunun eğimi ise eksi bir olmalıdır. Bu dik doğru B noktasından geçer.

B noktasından geçen ve eğimi eksi bir olan doğrunun denklemi, y eksi yedi eşittir eksi bir çarpı x eksi yedi şeklindedir.

Bu durumda merkez noktamız M, bu doğru üzerindedir. Merkezin apsisine k dersek, ordinatı on dört eksi k olur.

Şimdi yarıçapı, yani merkez ile B noktası arasındaki uzaklığı hesaplayalım.

İfadeyi sadeleştirdiğimizde iki tane k eksi yedi karesine ulaşırız. Buradan r kareyi çekebiliriz.

Kök alırsak yarıçap, kök iki çarpı mutlak değer k eksi yedi olur.

A noktasının çemberin içinde olması demek, merkez ile A arasındaki uzaklığın yarıçaptan küçük olması demektir. Yani Merkezin A'ya uzaklığının karesi, r kareden küçük olmalıdır.

A noktasının kordinatları on bir virgul dokuzdu. Merkezin A noktasına olan uzaklık karesini yazalım.