Çember ve Kare Üzerinde Trigonometrik Değer Hesaplama
Yayınlanma:
Aşağıda $[AE]$ çaplı yarım çember ile $ABCD$ karesi verilmiştir. $F$ ve $A$ noktaları $[EB]$ doğru parçası üzerindedir. $[EC]$ doğru parçası ile $[DF]$ doğru parçası çember üzerindeki $K$ noktasında birbirini kesiyor.
$|EF| = 3$ birim, $|AF| = 1$ birim, $m(\widehat{CEB}) = \alpha$
Buna göre, $\tan \alpha$ değeri kaçtır?
A) $\frac{1}{6}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{1}{2}$
D) $\frac{2}{3}$
E) $\frac{3}{4}$
Soruda görsel içerik var: Şekilde $[AE]$ çaplı bir yarım çember ve bu çemberin sağında kenarı çembere teğet gibi duran bir $ABCD$ karesi yer almaktadır. $E, F, A, B$ noktaları aynı doğru üzerindedir. $[EF] = 3$ birim ve $[AF] = 1$ birim olarak verilmiştir. Dolayısıyla çemberin çapı $|EA| = 4$ birimdir. $[EC]$ doğrusu ile $[DF]$ doğrusu çember üzerindeki bir $K$ noktasında kesişmektedir. $\angle CEB = \alpha$ olarak işaretlenmiştir. Şekilde $K$ noktası çember yayı üzerindedir ve $C$ ile $D$ noktaları karenin üst köşeleridir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Arkadaşlar merhaba. Bu güzel geometri sorusunu analitik geometri yöntemlerini kullanarak adım adım çözelim. Bizden tanjant alfa değeri isteniyor.
Hedef: $\tan \alpha = ?$
Şekli bir koordinat düzlemine yerleştirelim. A noktasını orijin $(0,0)$ olarak kabul edelim. Bu sayede karenin ve çemberin denklemlerini kolayca yazabiliriz.
Koordinat Düzlemi
Soruda verilen uzunlukları yerleştirelim. |AF|=1 ve |EF|=3 birim. E, F ve A doğrusal olduğuna göre, F noktası $(-1, 0)$ ve E noktası $(-4, 0)$ olur.
Şimdi kareye geçelim. Karenin bir kenar uzunluğuna $a$ diyelim. Bu durumda D noktası y ekseni üzerinde $(0, a)$ ve C noktası $(a, a)$ koordinatlarında olacaktır.
Karenin kenarı = $a$
$D(0,a)$, $C(a,a)$
Çemberin çapı [AE] olduğuna göre, çap uzunluğu 4 birimdir. Yani yarıçap $r=2$'dir. Merkez ise AE'nin orta noktası olan $(-2, 0)$ noktasıdır.
Şimdi doğruların denklemlerini yazalım. İlk olarak D ve F noktalarından geçen doğruya bakalım. $F(-1,0)$ ve $D(0,a)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $a$ olur.
Doğru Denklemleri
Sıradaki doğrumuz E ve C noktalarından geçen doğru. $E(-4,0)$ ve $C(a,a)$. Bu doğrunun eğimi de aynı zamanda $\tan \alpha$'ya eşittir.
Bu iki doğru, çember üzerindeki K noktasında kesişiyor. Önce kesişim noktasının apsisini (x değerini) bulalım.
İki denklemdeki y'leri eşitlersek:
Burada $a$ sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirebiliriz.
İçler dışlar çarpımı yapıp x'i yalnız bırakalım.
Her iki taraftan 4'ü çıkarıp x'leri bir tarafa toplayalım.
Şimdi bu x değerini $y = a(x+1)$ denkleminde yerine koyup K noktasının ordinatını bulalım.
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
