Çarpanlar ve Katlar Problemi

Selam gençler! Çarpanlar ve Katlar konulu harika bir soruyla karşınızdayım. Hadi, şeklimizi ve kuralları inceleyerek işe başlayalım.

Kuralımız şu: Her bir sarı daireye birbirinden farklı doğal sayılar yazacağız. Lütfen dikkat, sayılar birbirinden farklı olmalı.

A ve B değerleri, kendi etraflarındaki dört dairenin çarpımına eşitmiş. Ayrıca A ve B sayıları aralarında asal olmalı. Bu en kritik nokta!

Gelin, şeklimizi daha yakından görelim ve değişkenlerimizi atayalım. Ortadaki daire hem A'nın hem de B'nin köşesinde, yani ortak çarpan.

A ve B aralarında asal olacaksa, ortak çarpanları sadece bir olabilir. Yani bu ortadaki m dairesine bir yazmak zorundayız.

Şimdi A'nın çarpanlarına bakalım: beş, dokuz, x ve bir. Yani A eşittir dokuz çarpı beş çarpı x. Bu da kırk beş çarpı x yapar.

B'nin çarpanları ise y, z, w ve bir. Yani B eşittir y çarpı z çarpı w.

A'nın içinde dokuz ve beş çarpanları var. Aralarında asal olmaları için B'nin içinde üç ve beş çarpanı asla olmamalı.

Toplamı en küçük yapmak için x'e verebileceğimiz en küçük değeri verelim. Bir ve beş kullanıldığı için x yerine en az iki verebiliriz.

Şimdi B için en küçük sayıları seçelim. Unutma; bir, iki, beş ve dokuzu zaten kullandık. Ayrıca üç ve beşin katlarını seçemeyiz.

B'nin çarpanlarını seçerken üç ve beşin katlarını eledik. En küçük üç tanesi dört, yedi ve sekiz olur.

Hemen kontrol edelim. Bu sayılar yasal mı? Evet, hiçbiri daha önce kullanılmadı ve aralarında asallığı bozmuyorlar.

B değerini hesaplayalım. Dört çarpı yedi çarpı sekiz, buradan iki yüz yirmi dört sonucuna ulaşıyoruz.

Şimdi A artı B toplamına bakalım: doksan artı iki yüz yirmi dört, üç yüz on dört yapar. Şıklarda yok! Demek ki A ve B'nin yerini veya x değerini değiştirmeliyiz.

Acaba A'yı değil de B'yi mi küçük tutsak? A'nın çarpanları elli dördün ve beşin katı olduğu için zaten büyük. x'i bir yapamayız çünkü bir kullanıldı.

A'yı oluşturan çarpanlardan dokuzun yerine x'e üç versek? Hayır, zaten dokuz çarpanı var. x'e vermeyip B'ye çok küçük sayılar verelim.

Eğer x eşittir bir olsa? Ama sayıların farklı olması gerekiyordu ve bir'i ortaya yazdık. O zaman x'i iki olarak bırakalım, A eşittir doksan kalsın.

B'deki çarpanları tekrar gözden geçirelim. Bir, iki ve beş kullanıldı. Üçün katlarını kullanamayız. En küçükler dört, yedi ve sekiz demiştik.

Peki ya x yerine başka bir sayı? Mesela A'yı yedi seçsek? A eşittir kırk beş çarpı yedi, çok büyür.

Sorudaki şekle tekrar bakalım. Belki de dokuz ve beş zaten x ve y yerine verilmiştir. A'nın etrafında 5, 9, 1 ve x var demiştik.

x eşittir iki için A doksan. B'nin çarpanları y, z, w demiştik. Eğer y, z, w için 4, 7, 8 yerine daha küçük ne olabilir?

Bir saniye! Eğer A'nın çarpanlarını iki ve yedi seçersek? Dokuz ve beş zaten var. x için en küçük 2’yi seçtik. B için çarpanlara 4, 7, 8 demiştik.

Peki B'yi x ile takas etsek? Yani A'ya x olarak yedi versek? A eşittir üç yüz on beş olur, çok fazla.

Şıklara bakalım: 162, 191, 258. Biz 314 bulduk, çok yakınız ama hala uzağız. Gözden kaçırdığımız bir şey var mı?

Tekrar deneyelim: A çarpanları {5, 9, 1, 2} olsun. A = 90. B çarpanları 3 ve 5 içermemeli. {4, 7, 8} yerine daha küçük ikili kombinasyonlar olabilir mi?

Tamam, bir de şöyle düşünelim: x yerine 2 yerine başka bir sayı deneyelim. A = 45. x = 3 desek aralarda asallık bozulur. x = 4 desek A = 180.

Eğer A 180 olursa, B'nin çarpanları {7, 11, 13} gibi çok büyük olur. En iyisi A'yı 45 tutmak yani x'i 1 yapmak ama sayılar farklı dediği için bu imkansız.

B'yi tek bir sayı gibi düşünürsek, y-z-w çarpımı. 4, 7, 8'den daha küçük ne seçebiliriz? 4, 7, 11... 4, 7, bir... 1 kullanıldı.

B için en küçük üç farklı sayı: 4, 7 ve 8 çarpımı 224. 90 + 224 = 314. Seçeneklerde yok. A'nın içindeki 9'u (3 karesi) ve 5'i düşünürsek, B sadece 2'nin kuvvetleri ve diğer asallardan (7, 11, 13...) oluşabilir.