Bestimmung von Integrationsgrenzen anhand eines Funktionsgraphen
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Lösungsblatt zu Aufgabe 2.3:
Gegeben ist das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g$. Markieren Sie im Schaubild zwei Werte für $u$ mit $u \ge -1$, welche die Gleichung $\int_{-1}^{u} g(x) dx = 11$ näherungsweise lösen.
Erläuterung des Vorgehens:
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt ein kartesisches Koordinatensystem mit einer glatten, periodisch schwingenden Kurve $K_g$ (ähnlich einer Sinusfunktion). Die x-Achse ist von -1 bis 7 skaliert, die y-Achse von -1 bis 3. Der Graph geht durch die Punkte $(-1, 1)$, $(0, 3.5)$ (Maximum), ca. $(3.5, 0)$ (Nullstelle), ca. $(5, -1)$ (Minimum) und ca. $(6.5, 0)$ (Nullstelle). Das Koordinatensystem ist mit einem Gitternetz unterlegt. Über dem Graph steht die Gleichung $\int_{-1}^{u} g(x) dx = 11$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir zwei Werte für u finden, die größer oder gleich minus eins sind, sodass das Integral von g von x zwischen minus eins und u näherungsweise elf ergibt.
Bestimmung des Integrals durch Flächeninhalt
Das Integral entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Wir beginnen unsere Zählung bei x gleich minus eins.
Schätzen wir zunächst den Flächeninhalt im positiven Bereich ab, also von minus eins bis zur Nullstelle bei x gleich vier. Wir zählen die Kästchen unter der Kurve.
Kästchen zählen (Näherung)
In dem Intervall von minus eins bis vier sehen wir eine Fläche von etwa elf bis zwölf Kästchen. Wenn wir genau hinschauen, entspricht ein Kästchen einer Einheit. Zwischen minus eins und vier beträgt der Flächeninhalt fast genau elf.
Damit haben wir unseren ersten Wert gefunden. Bei u gleich vier ist das Integral näherungsweise elf.
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