Bestimmung einer Zielfunktion für ein maximales Rechteck
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1.6 In der nebenstehenden Abbildung schließen das zur y-Achse symmetrische Schaubild $K_g$ der Funktion $g$ und die x-Achse eine Fläche ein. In diese wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben.
Geben Sie eine Zielfunktion an, mit deren Hilfe das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt bestimmt werden kann. (3 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt ein kartesisches Koordinatensystem mit einer y-Achse und einer x-Achse. Der Graph einer Funktion $g$, bezeichnet als $K_g$, ist dargestellt. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse und verläuft unterhalb der x-Achse, wobei sie diese an zwei Stellen berührt oder schneidet (Maximalstellen auf der x-Achse). In dem Bereich zwischen dem Graphen und der x-Achse soll ein achsenparalleles Rechteck eingeschrieben werden. Die Kurve ähnelt einem umgedrehten Glockengraphen oder einer trigonometrischen Funktion wie $-\cos(x)$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir eine Zielfunktion aufstellen, um den maximalen Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, das zwischen dem Graphen einer symmetrischen Funktion und der x-Achse liegt.
Zielfunktion Aufstellen
Schauen wir uns zuerst die Geometrie in der Abbildung an. Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Ein achsenparalleles Rechteck wird nun so einbeschrieben, dass zwei Ecken auf der x-Achse und zwei Ecken auf dem Graphen liegen.
Sei x die x-Koordinate des rechten Eckpunkts auf dem Graphen. Aufgrund der Symmetrie liegt die linke Ecke bei minus x.
Damit ergibt sich die Breite b des Rechtecks als x minus minus x, also zwei mal x.
Die Höhe h des Rechtecks entspricht dem Betrag des Funktionswerts an der Stelle x. Da der Graph unterhalb der x-Achse liegt, ist h gleich minus g von x.
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