Bestimmung einer Exponentialfunktion und Extrempunkte
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3.4 Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = a \cdot e^{0,5x} + bx + 1, x \in \mathbb{R}$ und $a, b \neq 0$. Das Schaubild von $f$ heißt $K_f$.
$K_f$ verläuft durch den Ursprung und hat bei $x = 2$ einen Hochpunkt.
Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes und die Gleichung der Asymptote an. (6 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir den Funktionsterm einer Funktion f bestimmen, die einen exponentiellen und einen linearen Anteil hat. Außerdem suchen wir die Koordinaten des Hochpunktes und die Gleichung der Asymptote.
Bestimmung der Funktion f(x)
Zuerst nutzen wir die Information, dass der Graph durch den Ursprung verläuft. Das bedeutet, dass der Funktionswert an der Stelle Null ebenfalls Null sein muss.
1. Punkt im Ursprung: $f(0) = 0$
Wir setzen Null in die Funktionsgleichung ein. E hoch Null ist eins, also bleibt a mal eins Plus Null Plus eins gleich Null.
Daraus ergibt sich sofort der Wert für den Parameter a: a plus eins ist gleich Null, also ist a gleich minus eins.
Damit kennen wir den ersten Teil unserer Funktion.
Als Nächstes betrachten wir den Hochpunkt bei x gleich zwei. An einem Hochpunkt muss die erste Ableitung der Funktion Null sein.
Bestimmung von b
2. Hochpunkt bei $x = 2 \implies f'(2) = 0$
Leiten wir die Funktion ab. Die Kettenregel ergibt minus null Komma fünf mal e hoch null Komma fünf x, und der lineare Teil bx wird zu b.
Nun setzen wir x gleich zwei ein und setzen den Ausdruck gleich Null.
Das vereinfacht sich zu minus null Komma fünf mal e plus b gleich Null. Wenn wir umstellen, erhalten wir b gleich null Komma fünf mal e.
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