Aufgabe 2: Analysis einer ganzrationalen Funktion
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Aufgabe 2
Wahlteilaufgabe mit Taschenrechner. (30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x^2, x \in \mathbb{R}$. Das Schaubild ist $K_f$.
2.1 Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von $K_f$. Zeichnen Sie $K_f$ für $-3 \le x \le 2$. (9 Punkte)
2.2 Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Punkt $P(2 | f(2))$ und die Koordinaten des Schnittpunktes dieser Tangente mit der $x$-Achse. (4 Punkte)
Gegeben ist das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g$.
2.3 Markieren Sie im Schaubild (siehe Lösungsblatt) zwei Werte für $u$ mit $u \ge -1$, welche die Gleichung $\int_{-1}^{u} g(x) dx = 11$ näherungsweise lösen. Erläutern Sie Ihr Vorgehen. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir betrachten heute eine Kurvendiskussion der Funktion f von x gleich ein Viertel x hoch vier plus ein Drittel x hoch drei minus x quadrat. Im ersten Teil berechnen wir die Extrempunkte.
Kurvendiskussion von f(x)
Um die Hoch- und Tiefpunkte zu finden, benötigen wir die erste Ableitung. Wir wenden die Potenzregel an.
Die Ableitung f strich von x ergibt sich zu x hoch drei plus x quadrat minus zwei x.
Für die Extremstellen setzen wir die erste Ableitung gleich null.
Wir können x ausklammern, um die Gleichung zu vereinfachen. Das ergibt x mal in Klammern x quadrat plus x minus zwei gleich null.
Die erste Lösung ist x eins gleich null. Für die restlichen Lösungen betrachten wir den quadratischen Term.
Mit der p-q Formel oder durch Faktorisieren finden wir zwei weitere Nullstellen: x zwei gleich eins und x drei gleich minus zwei.
Nun prüfen wir die Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung. Diese lautet f zwei strich von x gleich drei x quadrat plus zwei x minus zwei.
Überprüfung der Hoch- und Tiefpunkte
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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