Analysis von Polynomfunktionen und Sinusfunktionen
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1.1 Berechnen Sie die zweite Ableitung der Funktion $h$ mit
$$h(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - 2x^2, x \in \mathbb{R}.$$
Berechnen Sie die Nullstellen der zweiten Ableitung $h''$. (6 Punkte)
1.2 Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \sin(\pi x) + 2; -2 \le x \le 2$. Geben Sie die Periode und die Amplitude von $f$ an. Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion. (5 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Analysis von zwei verschiedenen Funktionen. Wir beginnen mit Teil eins komma eins punkt.
Aufgabe 1.1: Ableitungen und Nullstellen
Zuerst ist die Funktion h von x gleich ein Zwölftel x hoch vier minus ein halb x hoch drei minus zwei x quadrat gegeben.
Um die zweite Ableitung zu finden, berechnen wir zuerst die erste Ableitung h strich von x unter Verwendung der Potenzregel.
Das lässt sich zu h strich von x gleich ein Drittel x hoch drei minus drei halbe x quadrat minus vier x vereinfachen.
Jetzt bilden wir die zweite Ableitung h zwei strich von x, indem wir h strich erneut ableiten.
Vereinfacht ergibt das h zwei strich von x gleich x quadrat minus drei x minus vier.
Nun sollen wir die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen. Wir setzen die Gleichung also zu null.
Wir können diese quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel lösen. Hier nutzen wir die p-q-Formel.
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