Analysis von Funktionen und Integralrechnung
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4.2 Die Gerade $x = u$ schneidet $K_f$ für $-5 \le u \le 0$ im Punkt $Q$ und die x-Achse im Punkt $R$. Der Koordinatenursprung $O$ bildet mit den Punkten $Q$ und $R$ ein Dreieck.
Zeichnen Sie in das obige Schaubild das Dreieck $OQR$ für $u = -4$ ein.
Berechnen Sie, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. (8 Punkte)
4.3 Begründen Sie, dass das Schaubild jeder Stammfunktion von $f$ an der Stelle $x = 0$ einen Hochpunkt hat.
Geben Sie die Stammfunktion an, deren Schaubild den Hochpunkt in $H(0|-3)$ hat. (4 Punkte)
Die Funktion $g$ ist für $-2 \le x \le 6$ gegeben durch $g(x) = -1,5 \sin(x) - 2$.
Ihr Schaubild ist $K_g$.
4.4 Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von $K_g$.
Zeichnen Sie $K_g$. (7 Punkte)
4.5 Die Parabel $y = -x^2 + \pi x - 2$ umschließt mit $K_g$ im Intervall $[0; \pi]$ eine Fläche.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Lassen Sie uns zusammen Aufgabe vier Komma fünf lösen. Wir sollen den Inhalt der Fläche berechnen, die von einer Parabel und der Funktion g eingeschlossen wird.
Aufgabe 4.5: Flächeninhalt
Aus der Aufgabenstellung nehmen wir als Erstes die Funktionsgleichung für die Parabel auf. Nennen wir sie p von x.
Die Funktion g ist ein Stück weiter oben im Text definiert, mit minus eins Komma fünf mal Sinus von x minus zwei.
Zusätzlich ist uns noch das Intervall für die Fläche vorgegeben, welches wir von null bis Pi betrachten sollen.
Den Flächeninhalt berechnen wir über das bestimmte Integral der Differenzfunktion. Da die nach unten geöffnete Parabel hier die obere Kurve ist, rechnen wir das Integral über p von x minus g von x.
Aufstellen des Integrals
Jetzt setzen wir die beiden konkreten Funktionsterme ein.
Um das Ganze übersichtlicher zu machen, lösen wir die hintere Klammer auf. Achten Sie darauf, dass sich die Vorzeichen durch das Minuszeichen davor umdrehen.
Das vereinfacht unsere Rechnung ganz erheblich, denn die minus zwei und die plus zwei heben sich direkt auf. Wir haben nun ein angenehm kompaktes Integral vor uns.
Als nächstes müssen wir dieses Integral auswerten. Dazu bilden wir zunächst die Stammfunktion unseres Integranden.
Stammfunktion und Auswertung
Wir integrieren dafür Summand für Summand. Aus minus x Quadrat wird minus ein Drittel x hoch drei, Pi mal x wird zu Pi halbe x Quadrat, und aus dem Sinus wird ein minus Cosinus. Die Grenzen schreiben wir ordentlich an die eckigen Klammern.
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