Analysis: Nullstellen, Flächenberechnung und Trigonometrische Gleichungen
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Aufgabe 1 (Variante 2) (30 Punkte)
1.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion g mit $g(x) = x^3 + x^2 - 3x, x \in \mathbb{R}$.
Begründen Sie, warum das Schaubild nicht zu g gehören kann.
1.2 Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = (x-1)(x+2), x \in \mathbb{R}$.
Skizzieren Sie das Schaubild und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die das Schaubild im 4. Quadranten mit den Koordinatenachsen bildet. (6 Punkte)
1.3 Bestimmen Sie zwei Lösungen der Gleichung $2 \sin(x) - 2 = 0$. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein kartesisches Koordinatensystem mit x- und y-Achse. Das Raster zeigt Einheiten von -3 bis 2 auf der x-Achse und -1 bis 2 auf der y-Achse. Ein Graph einer kubischen Funktion ist eingezeichnet. Der Graph hat Nullstellen bei etwa $x \approx -2.2$, $x = 0$ und $x \approx 1.3$. Er weist ein lokales Maximum im zweiten Quadranten und ein lokales Minimum im vierten Quadranten auf.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In this exercise, we will solve three mathematical problems involving functions, integration, and trigonometry. Let's start with task one point one.
Aufgabe 1 (Variante 2)
First, we need to find the zeros of the function g of x equals x cubed plus x squared minus three x.
1.1 Nullstellen berechnen
To find the zeros, we set the function equal to zero.
Since every term contains x, we can factor out one x. This gives us x times the quantity x squared plus x minus three equals zero.
By the zero product property, the first solution is x equals zero.
To find the other zeros, we set the quadratic part equal to zero and apply the quadratic formula.
Plugging in our values, we get negative one plus or minus the square root of thirteen, all divided by two.
This gives us two more solutions. Approximately one point three zero and negative two point three zero.
Now, let's look at the graph provided. In the graph, the zeros are at negative two, zero, and one point five. Since our calculated zeros for g of x are different, the graph cannot belong to g.
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