Analysis einer ganzrationalen Funktion vierten Grades
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Aufgabe 2
Wahlteilaufgabe mit Taschenrechner. (30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{2}{27} x^4 - \frac{4}{3} x^2$ mit $x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1 Untersuchen Sie $K_f$ auf Symmetrie.
Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von $K_f$.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-4 \le x \le 4$. (8 Punkte)
2.2 Die Gerade mit der Gleichung $x = u$ mit $0 \le u \le 4$ schneidet die x-Achse in Punkt $A$ und $K_f$ in Punkt $P$. Der Ursprung $O$ bildet mit $A$ und $P$ ein Dreieck.
a) Veranschaulichen Sie dies für $u = 2$ im Schaubild aus 2.1.
b) Bestimmen Sie $u$ so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $OPA$ maximal ist.
(7 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Hallo Hvgzv, wir analysieren heute die Funktion f und lösen die Teilaufgaben Schritt für Schritt.
Gegebene Funktion
Zuerst untersuchen wir das Schaubild K f auf Symmetrie. Da die Funktion nur gerade Exponenten besitzt, testen wir auf Achsensymmetrie zur y-Achse.
2.1 Symmetrie
Negative Werte hoch vier oder hoch zwei werden positiv. Der Term bleibt also gleich.
Damit ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
Jetzt berechnen wir die Wendepunkte. Dazu benötigen wir die ersten beiden Ableitungen.
2.1 Wendepunkte
Wir vereinfachen die zweite Ableitung zu acht neuntel x quadrat minus acht drittel.
Für Wendepunkte setzen wir die zweite Ableitung gleich Null.
Wir addieren acht drittel und multiplizieren mit neun achtel.
Daraus ergeben sich die x-Werte plus und minus Wurzel aus drei.
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