Analysis einer Exponentialfunktion und Verschiebungen

Wir schauen uns eine Aufgabe zur Kurvendiskussion an. Gegeben ist die Funktion h von x gleich null komma fünf mal e hoch null komma fünf x minus x plus eins komma fünf.

In Aufgabenteil drei punkt zwei sollen wir die Koordinaten des Extrempunktes berechnen. Dafür benötigen wir zuerst die erste Ableitung.

Wir wenden die Kettenregel auf den Exponentialterm an. Die innere Ableitung von null komma fünf x ist null komma fünf. Multipliziert mit dem Koeffizienten erhalten wir null komma zwei fünf.

Für einen Extrempunkt muss die erste Ableitung gleich null sein. Also setzen wir null komma zwei fünf mal e hoch null komma fünf x minus eins gleich null.

Wir addieren eins auf beiden Seiten und teilen anschließend durch null komma zwei fünf. Das ist gleichbedeutend mit einer Multiplikation mit vier.

Um das x aus dem Exponenten zu lösen, wenden wir den natürlichen Logarithmus an.

Schließlich multiplizieren wir mit zwei. Da der Logarithmus von vier das Doppelte vom Logarithmus von zwei ist, ergibt das zwei mal zwei ln zwei, also vier ln zwei beziehungsweise zwei ln vier.

Nun berechnen wir den zugehörigen y-Wert, indem wir den x-Wert in die Ausgangsfunktion einsetzen.

e hoch Logarithmus von vier ist einfach vier. Null komma fünf mal vier ist zwei. Damit erhalten wir zwei minus zwei ln vier plus eins komma fünf.