Analyse von Temperatur- und Exponentialfunktionen
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Die Temperatur (in °C) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit
$$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 14, \quad t \in [0; 24].$$
Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t=0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die zugehörigen Temperaturen.
Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
Aufgabe 3
3.4 In welchem Zeitraum liegt die Temperatur oberhalb von $17,5^{\circ}\text{C}$? (2 Punkte)
Die Funktion $h$ ist gegeben durch $h(x) = \frac{1}{2}x + 3 - e^{0,5x}, \quad x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_h$.
3.5 Geben Sie die Gleichung der Asymptote von $K_h$ an.
Untersuchen Sie $K_h$ auf Extrempunkte.
Zeichnen Sie $K_h$ für $-8 \le x \le 4$. (10 Punkte)
3.6 Zeigen Sie, dass die Steigung von $K_h$ in allen Punkten kleiner als 0,5 ist. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Heute lösen wir eine Analysis-Aufgabe zur Temperaturänderung einer Felswand. Wir betrachten die Funktion T von t, wobei t die Zeit in Stunden ab 5 Uhr morgens ist.
Temperaturverlauf einer Felswand
In Aufgabenteil 3 Punkt 3 suchen wir zuerst die Zeitpunkte der maximalen und minimalen Temperatur sowie die entsprechenden Werte.
3.3 Extrema der Temperatur
Die Kosinusfunktion schwankt zwischen minus eins und eins.
Die minimale Temperatur tritt auf, wenn der Kosinus-Term gleich eins ist, da wir eine negative Amplitude von minus sieben haben.
Dies geschieht, wenn das Argument des Kosinus null oder zwei Pi ist. Für t gleich null erhalten wir also die kälteste Temperatur.
Da t gleich null 5 Uhr morgens entspricht, ist die Wand um 5 Uhr mit 7 Grad am kältesten.
Die maximale Temperatur erreichen wir, wenn der Kosinus gleich minus eins ist.
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