Analyse von Funktionsgraphen und Ableitungswerten
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1.5 Gegeben ist das Schaubild $K_f$ einer Funktion $f$ sowie eine Wertetabelle von $f$, $f'$ sowie $f''$. Die Wertetabelle enthält genau vier Fehler.
Begründen Sie, welche Werte nicht mit dem Schaubild $K_f$ übereinstimmen.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline x & -2 & 0 & 2 & 4 \\
\hline f(x) & 0 & 2 & 0 & 0 \\
\hline f'(x) & 0 & 0,8 & 3,2 & -7,2 \\
\hline f''(x) & -3 & -2,4 & 0 & 12 \\
\hline \end{array}$$
(8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild enthält zwei Hauptkomponenten: 1. Ein Koordinatensystem mit dem Graphen $K_f$ einer Funktion $f$. Der Graph hat ein lokales Minimum bei $x = -2$ (Berührungspunkt mit der x-Achse), ein relatives Maximum im ersten Quadranten nahe $x = 0.5$ und ein weiteres lokales Minimum bei etwa $x = 3$. Die x-Achse ist von -3 bis 4 beschriftet, die y-Achse von -2 bis 2. 2. Eine Tabelle mit x-Werten (-2, 0, 2, 4) und den entsprechenden Werten für $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$. Zu den Werten gehören: für $x = -2$: $f(-2)=0, f'(-2)=0, f''(-2)=-3$; für $x = 0$: $f(0)=2, f'(0)=0,8, f''(0)=-2,4$; für $x = 2$: $f(2)=0, f'(2)=3,2, f''(2)=0$; für $x = 4$: $f(4)=0, f'(4)=-7,2, f''(4)=12$.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir eine Wertetabelle von f, f-strich und f-zwei-strich untersuchen. Die Tabelle enthält genau vier Fehler im Vergleich zum gegebenen Graphen K_f. Finden und begründen wir diese.
Fehleranalyse der Wertetabelle
Schauen wir uns zuerst die Funktionswerte f von x in der ersten Zeile an. Wir vergleichen sie direkt mit den Punkten auf dem Graphen.
| x | -2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 2 | 0 | 0 |
| f'(x) | 0 | 0,8 | 3,2 | -7,2 |
| f''(x) | -3 | -2,4 | 0 | 12 |
Bei x gleich minus zwei hat der Graph eine doppelte Nullstelle. Der Tabellenwert f von minus zwei ist null. Das passt.
Bei x gleich null schneidet der Graph die y-Achse bei etwa drei. In der Tabelle steht jedoch zwei. Das ist unser erster Fehler.
An der Stelle x gleich zwei hat der Graph eine Nullstelle. f von zwei gleich null in der Tabelle ist also korrekt.
Bei x gleich vier sehen wir am Graphen, dass die Funktion weit im positiven Bereich liegt. Der Tabellenwert null kann also nicht stimmen. Das ist der zweite Fehler.
Untersuchen wir nun die erste Ableitung f-strich von x. Sie gibt die Steigung der Tangente an.
Untersuchung der Steigung f'(x)
| x | -2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | 0 | 0,8 | 3,2 | -7,2 |
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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