Analyse und Transformation der Funktion h(x)
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Aufgabe 3
Wahlteilaufgabe mit Taschenrechner. (30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = 0,5e^{0,5x} - x + 1,5$, $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_h$.
3.1 Zeichnen Sie $K_h$ für $-2 \le x \le 5$.
3.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunktes von $K_h$.
Das Schaubild $K_h$ soll verschoben werden:
a) in y-Richtung, so dass das Schaubild durch den Ursprung verläuft,
b) so, dass der Extrempunkt im Ursprung liegt.
Geben Sie jeweils einen neuen Funktionsterm an. (8 Punkte)
3.3 Prüfen Sie, ob die Tangente an $K_h$ in $x = 3$ einen positiven y-Achsenabschnitt hat. (4 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion h von x. Gegeben ist h von x gleich null komma fünf mal e hoch null komma fünf x minus x plus eins komma fünf.
Aufgabe 3: Analysis einer Exponentialfunktion
In Aufgabenteil drei komma zwei sollen wir die Koordinaten des Extrempunktes berechnen. Dafür benötigen wir die erste Ableitung der Funktion.
3.2 Extrempunkt berechnen
Nach der Kettenregel ist die Ableitung von null komma fünf mal e hoch null komma fünf x gleich null komma zwei fünf mal e hoch null komma fünf x. Die Ableitung von minus x ist minus eins.
Für einen Extrempunkt setzen wir die erste Ableitung gleich null.
Wir addieren eins auf beiden Seiten und teilen dann durch null komma zwei fünf.
Um nach x aufzulösen, wenden wir den natürlichen Logarithmus an.
Daraus folgt x ist gleich zwei mal ln von vier, was ungefähr zwei komma sieben sieben entspricht.
Nun berechnen wir den y-Wert, indem wir x in h von x einsetzen. Das ergibt h von zwei ln vier gleich null komma fünf mal e hoch ln vier minus zwei ln vier plus eins komma fünf.
Vereinfacht ergibt das zwei minus zwei ln vier plus eins komma fünf, also drei komma fünf minus zwei ln vier. Das ist etwa null komma sieben zwei.
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