Analyse financière et ajustement linéaire

Exercice 1 (8pts) Une société spécialisée dans la commercialisation de produits agricoles à Lomé a déposé en janvier 2018 un capital initial de $2\ 000\ 000$ FCFA sur un compte rémunéré dans une banque de la place à un taux d'intérêts composés de $6\%$ par an (c'est-à-dire chaque année les intérêts s'ajoutent au capital pour donner le capital de l'année suivante). On suppose qu'aucune opération n'est effectuée depuis le placement du capital initial. Par ailleurs, le service comptable de cette société a collecté, sur les huit dernières années (2018-2025), les données relatives aux dépenses publicitaires annuelles $x_i$ (en centaines de milliers de FCFA) et aux chiffres d'affaires annuels $y_i$ (en millions de FCFA), consignées dans le tableau ci-dessous : Tableau des données [Insérer tableau ici]. On désigne par $C_n$ le capital de la société en l'an $2018+n$, pour tout entier naturel $n$. Ainsi $C_0 = 2\ 000\ 000$ FCFA. Consigne 1 : Déterminer le capital de cette société en l'an 2033 puis déterminer l'année à laquelle ce capital va dépasser pour la première fois $5\ 000\ 000$ FCFA. Consigne 2 : En utilisant un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés, estimer le chiffre d'affaires prévisible pour l'année 2026 si la société engageait $1\ 200\ 000$ F de dépenses publicitaires cette année.

This question includes visual content: Le contenu visuel comprend un tableau de données comportant deux lignes : une ligne pour les années allant de 2018 à 2025, et deux lignes correspondantes pour les variables $x_i$ (dépenses publicitaires en $100\ 000$ F) et $y_i$ (chiffres d'affaires en millions de FCFA). Le tableau contient les valeurs suivantes : Pour 2018 ($x_i=2, y_i=5,2$), 2019 ($x_i=3, y_i=6,8$), 2020 ($x_i=4, y_i=7,5$), 2021 ($x_i=5, y_i=9,1$), 2022 ($x_i=6, y_i=10,3$), 2023 ($x_i=7, y_i=11,6$), 2024 ($x_i=9, y_i=13,8$), 2025 ($x_i=10, y_i=15,0$). Un tableau en bas détaille également le barème de notation par consignes.