Analyse eines Ableitungsgraphen
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1.5 Gegeben ist das Schaubild $K_{f'}$ einer Ableitungsfunktion $f'$.
Beurteilen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
(1) Das Schaubild von $f$ hat an der Stelle $x = 2$ einen Hochpunkt.
(2) Das Schaubild von $f$ hat genau zwei waagrechte Tangenten.
(3) $K_{f'}$ ist auch das Schaubild der Ableitungsfunktion $f(x) + 2$.
(4) Es gibt eine Funktion $f$ mit $f(x) > 0$ für alle $x$.
(8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt den Graphen einer Ableitungsfunktion $K_{f'}$. Der Graph $f'$ ist eine Wellenform, die einer kubischen oder trigonometrischen Funktion ähnelt. Sie hat Nullstellen bei $x = -2$, $x = 0$ und $x = 2$. Zwischen $x = -2$ und $x = 0$ verläuft der Graph oberhalb der x-Achse mit einem lokalen Maximum nahe $x = -1.2$ bei etwa $y = 1.5$. Zwischen $x = 0$ und $x = 2$ verläuft der Graph unterhalb der x-Achse mit einem lokalen Minimum nahe $x = 1.2$ bei etwa $y = -1.5$. Bei $x = -2$ steigt der Graph von unten kommend an, und bei $x = 2$ steigt er von unten kommend ins Positive an.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir den Graphen einer Ableitungsfunktion f-Strich und beurteilen vier Aussagen über die ursprüngliche Funktion f.
Analyse der Ableitungsfunktion $f'$
Betrachten wir zunächst die erste Aussage: Hat der Graph von f bei x gleich zwei einen Hochpunkt?
Aussage (1)
Das Schaubild von $f$ hat an der Stelle $x = 2$ einen Hochpunkt.
Ein Extrempunkt von f liegt vor, wenn die Ableitung f-Strich gleich null ist. Wir sehen im Graphen, dass f-Strich von zwei gleich null ist. Das ist die erste Bedingung.
Für einen Hochpunkt muss f-Strich jedoch das Vorzeichen von plus nach minus wechseln. Hier wechselt f-Strich bei x gleich zwei aber von minus nach plus. Das bedeutet, f hat dort einen Tiefpunkt, keinen Hochpunkt.
Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ an der Stelle $x=2$ $\implies$ Tiefpunkt
Somit ist die erste Aussage falsch.
Kommen wir zur zweiten Aussage: Besitzt f genau zwei waagerechte Tangenten?
Aussage (2)
Das Schaubild von $f$ hat genau zwei waagerechte Tangenten.
Waagerechte Tangenten treten überall dort auf, wo die Ableitung f-Strich null ist. Das sind die Nullstellen der Ableitungsfunktion.
Wenn wir uns den Graphen anschauen, sehen wir drei Nullstellen: bei x gleich minus zwei, bei x gleich null und bei x gleich zwei.
Da es drei Nullstellen gibt, hat f drei waagerechte Tangenten. Die Aussage, es seien genau zwei, ist also falsch.
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