Alan Oranı Sorusu
Yayınlanma:
Gerçel sayılar kümesi üzerinde $f(x) = x^2$ fonksiyonu tanımlanıyor. $[-3, 3]$ aralığındaki gerçel sayılar için $y = f(x)$ grafiği birim karelere bölünen şekildeki dik koordinat düzleminde verilmiştir. Bu grafiğin böldüğü birim karelerde; grafiğin altında kalan bölgeler maviye, üstünde kalan bölgeler ise sarıya şekildeki gibi boyanmıştır. Buna göre, mavi bölgelerin alanları toplamının sarı bölgelerin alanları toplamına oranı kaçtır? A) $2/3$ B) $3/4$ C) $4/5$ D) $5/6$ E) $6/7$
Soruda görsel içerik var: Bir dik koordinat sisteminde $[-3, 3]$ aralığında $f(x) = x^2$ parabolü çizilmiştir. Grafik, birim karelere bölünmüş bir alan üzerinde yer almaktadır. Parabolün altında kalan bölgeler maviye, üzerinde kalan bölgeler ise sarıya boyanmıştır. x ekseni [-3, 3], y ekseni [0, 9] aralığını kapsamaktadır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Damla, bugün eksi üç ile üç arasındaki x kare parabolünün altında ve üstünde kalan alanlar arasındaki oranı inceleyeceğiz.
Parabol Üzerinde Alan Oranı
Grafiğe baktığımızda parabolün y eksenine göre simetrik olduğunu görüyoruz. Bu yüzden sadece sağ tarafı, yani sıfırla üç aralığını incelememiz yeterli olacaktır.
Her bir birim karede, eğri altındaki mavi alan ile eğri üstünde kalan sarı alanın toplamı bir birim kareye, yani bir'e eşittir.
Sıfırla üç aralığındaki toplam mavi alanı belirlemek için integrale başvuralım. Mavi alan, sıfırdan üçe kadar x kare fonksiyonunun integralidir.
Toplam Mavi Alan (M)
x karenin integrali x küp bölü üçtür. Sınırları yerine yazıyoruz.
Üçün küpü yirmi yedi, yirmi yediyi üçe böldüğümüzde ise dokuz sonucuna ulaşıyoruz. Yani sağ taraftaki mavi bölgelerin toplam alanı dokuzdur.
Parabol simetrik olduğu için sol taraftaki mavi alan da dokuzdur. Bu durumda toplam mavi alan on sekiz olur.
Şimdi sarı bölgeleri bulalım. Grafikte x'in eksi üçten üçe kadar değiştiğini ve toplam altı birim genişlik olduğunu görüyoruz.
Toplam Alan ve Sarı Alan
Birim karelerin kapladığı toplam alan, taban çarpı tavan değeridir. Grafikte üç birim sağda, üç birim solda taban altıdır. Tavan ise y eşittir üç kare, yani dokuzdur.
Toplam sarı alanını bulmak için, bu büyük dikdörtgenin alanından toplam mavi alanı çıkarmalıyız.
Elli dörtten on sekizi çıkardığımızda, sarı bölgelerin toplam alanının otuz altı olduğunu buluruz.
Bizden istenen mavi bölgelerin alanları toplamının, sarı bölgelerin alanları toplamına oranıydı.
On sekiz bölü otuz altı yazıyoruz.
Çözümün devamı Solvi’de
13 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
