Achschnittpunkte und Extremwertaufgabe einer Exponentialfunktion
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Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = -e^{0,5x} + 5, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_h$.
2.4 Berechnen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von $K_h$. (4 Punkte)
2.5 Die Punkte $A(0|0), B(u|0), C(u|h(u))$ und $D(0|h(u))$ bilden für $0,5 \le u \le 3$ ein Rechteck.
Skizzieren Sie diesen Sachverhalt.
Bestimmen Sie $u$ so, dass der Umfang des Rechtecks maximal wird.
Geben Sie den maximalen Umfang an. (7 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit x- und y-Achse. Dargestellt ist der Graph einer Funktion $K_h$. Der Graph verläuft im zweiten Quadranten annähernd horizontal als Asymptote bei einem positiven y-Wert, schneidet die y-Achse oberhalb des Ursprungs und fällt im ersten Quadranten steil ab, wobei er die x-Achse kreuzt.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion h von x gleich minus e hoch null komma fünf x plus fünf. Wir sollen zwei Dinge tun: Zuerst die Achsenschnittpunkte berechnen und dann ein Rechteck mit maximalem Umfang bestimmen.
Gegebene Funktion
Beginnen wir mit Aufgabe zwei punkt vier, den Achsenschnittpunkten. Für den Schnittpunkt mit der y-Achse setzen wir x gleich null.
2.4 Achsenschnittpunkte
E hoch null ist eins. Also haben wir minus eins plus fünf, was vier ergibt. Der Schnittpunkt S y liegt also bei null strich vier.
Für die Nullstelle setzen wir die gesamte Funktion gleich null.
Wir addieren e hoch null komma fünf x auf beiden Seiten.
Um nach x aufzulösen, wenden wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten an.
Schließlich teilen wir durch null komma fünf, was dasselbe ist wie mit zwei zu multiplizieren. Die Nullstelle liegt also bei zwei mal Logarithmus fünf, was etwa drei komma zwei zwei ist.
Kommen wir zu Aufgabe zwei punkt fünf. Wir haben ein Rechteck mit den Eckpunkten A, B, C und D. Da u zwischen null komma fünf und drei liegt, ist h von u positiv.
2.5 Maximierung des Umfangs
Die Breite des Rechtecks ist u und die Höhe ist h von u. Die Formel für den Umfang U von u ist zwei mal die Breite plus zwei mal die Höhe.
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