Zuordnung von Funktionsgraphen (G, g, g') und Flächenberechnung
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Ordnen Sie die Funktionen $g$, $g'$ und $G$ den Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Zuordnung den Inhalt der Fläche, die das Schaubild $C$ auf dem Intervall $[-2; 2]$ mit der Geraden $y = 1$ einschließt. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Three coordinate systems labeled A, B, and C containing function graphs on a grid. Graph A shows a non-periodic, decreasing wavy function passing through the origin. Graph B shows a periodic trigonometric-like function starting at the origin with an amplitude of approximately 3. Graph C shows another periodic function. The x-axes range approximately from -4 to 4, and y-axes range from -3 to 3 with marked integer units.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir den Graphen A, B und C die Funktionen g, g-Strich und G zuordnen und anschließend eine Fläche berechnen.
Zuordnung von $g$, $g'$ und $G$
Wir suchen nach Zusammenhängen zwischen Nullstellen, Extrema und Wendepunkten. Schauen wir uns Graph B an. Graph B hat bei x gleich null eine Nullstelle mit positivem Anstieg.
Betrachten wir nun Graph A. An der Stelle x gleich null hat Graph A ein lokales Extremum, genauer gesagt einen Sattelpunkt. Das passt zur Ableitungsbeziehung.
Prüfen wir eine andere Stelle. Graph B hat Extrema bei etwa x gleich minus drei, minus eins, eins und drei. An diesen Stellen hat Graph C Nullstellen.
Das bedeutet, dass C die Ableitung von B ist. Also ist C gleich g-Strich und B gleich g.
Wenn B gleich g ist, dann muss A die Stammfunktion G sein, da die Steigung von A an jeder Stelle dem Funktionswert von B entspricht. Zum Beispiel ist an der Stelle null der Wert von B gleich null, und A hat dort eine waagerechte Tangente.
Im zweiten Teil sollen wir den Flächeninhalt berechnen, den Graph C mit der Geraden y gleich eins im Intervall von minus zwei bis zwei einschließt.
Flächenberechnung
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