Analysis Aufgaben: Funktionen, Symmetrie, Extrempunkte und Ableitungen
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1.1 Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4, x \in \mathbb{R}$.
Untersuchen Sie das Schaubild von $f$ auf Symmetrie.
Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. (6 Punkte)
1.2 Gegeben ist die Funktion $p$ mit $p(x) = -x^2 - 2x + 3, x \in \mathbb{R}$.
Weisen Sie nach, dass der Punkt $E(-1|4)$ ein Extrempunkt des Schaubildes von $p$ ist. (4 Punkte)
1.3 Lösen Sie die Gleichung $e^{-2x} - 5e^{-x} = 0$. (4 Punkte)
1.4 Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = 6 - 4e^{-2x}, x \in \mathbb{R}$.
Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung von $h$. (2 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Willkommen! Wir lösen heute vier Aufgaben aus einer Matheprüfung. Fangen wir mit Aufgabe eins eins an.
Aufgabe 1.1: Symmetrie und Nullstellen
Gegeben ist die Funktion f von x gleich x hoch vier minus fünf x quadrat plus vier. Wir prüfen zuerst die Symmetrie.
Da alle Exponenten von x gerade sind, nämlich vier und zwei sowie die konstante vier als x hoch null, vermuten wir Achsensymmetrie zur y-Achse.
Da minus x in Klammern hoch vier wieder x hoch vier ergibt und minus x in Klammern quadrat wieder x quadrat, ist f von minus x gleich f von x.
Das bedeutet, der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nun berechnen wir die Nullstellen, indem wir die Funktion gleich Null setzen.
Aufgabe 1.1: Nullstellen
Dies ist eine biquadratische Gleichung. Wir nutzen die Substitution u gleich x quadrat.
Mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta finden wir die Lösungen für u.
Jetzt führen wir die Resubstitution durch. Für u gleich eins erhalten wir x quadrat gleich eins, also x ist plus oder minus eins.
Für u gleich vier ergibt sich x quadrat gleich vier, also x ist plus oder minus zwei.
Die Nullstellen liegen also bei minus zwei, minus eins, eins und zwei.
In Aufgabe eins zwei sollen wir zeigen, dass E ein Extrempunkt von p ist.
Aufgabe 1.2: Extrempunkt nachweisen
Zuerst bilden wir die erste Ableitung: minus zwei x minus zwei.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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