Kurvendiskussion und Integralrechnung einer ganzrationalen Funktion

Question

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 27$, $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild heißt $K_f$.

2.1 Zeigen Sie, dass $f$ bei $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ Nullstellen hat.
Untersuchen Sie $K_f$ auf Extrem- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-1,25 \le x \le 4$. (12 Punkte)

2.2 Prüfen Sie, ob die y-Achse den Inhalt der Fläche zwischen $K_f$ und der x-Achse im Verhältnis $1:2$ teilt. (5 Punkte)

Solvi · Accepted Answer

In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion f von x gleich minus x hoch vier plus acht x hoch drei minus achtzehn x quadrat plus siebenundzwanzig. Zuerst zeigen wir, dass minus eins und drei Nullstellen sind. Um zu zeigen, dass x gleich minus eins eine Nullstelle ist, setzen wir den Wert in die Funktion ein. Das ergibt minus eins minus acht minus achtzehn plus siebenundzwanzig, was genau null ist. Somit ist minus eins eine Nullstelle. Das gleiche machen wir für x gleich drei. Wir rechnen: minus einundachtzig plus zweihundertsechzehn minus einhundertzweiundsechzig plus siebenundzwanzig. Auch das ergibt null. Bestätigt! Nun untersuchen wir die Extrempunkte. Dafür benötigen wir die ersten Ableitungen der Funktion. Für die Extrema setzen wir die erste Ableitung gleich null. Wir klammern minus vier x aus. Der Term in der Klammer ist eine binomische Formel: x minus drei zum Quadrat. Wir erhalten die Stellen null und eine doppelte Stelle bei drei. Prüfen wir x gleich null in der zweiten Ableitung: Das ergibt minus sechsunddreißig. Kleiner als null bedeutet ein lokales Maximum bei null und siebenundzwanzig. Bei x gleich drei ist die zweite Ableitung null. Da es eine doppelte…

Kurvendiskussion und Integralrechnung einer ganzrationalen Funktion

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