Analysis von Parabeln, kubischen Funktionen und trigonometrischen Funktionen
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Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = -3x^2 + 12x - 6$, $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild $K_f$ ist unten abgebildet.
4.1 Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. (3 Punkte)
4.2 Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunktes von $K_f$ und der Geraden mit der Gleichung $y = 3x + 0,75$. (4 Punkte)
4.3 Die Punkte $O(0|0)$, $P(u|0)$ und $Q(u|f(u))$ bilden für $1 \le u \le 3$ das Dreieck $OPQ$.
Zeichnen Sie das Dreieck für $u = 2$ in das nebenstehende Schaubild ein.
Berechnen Sie, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird. (9 Punkte)
Gegeben ist die Funktion h mit $h(x) = ax^3 + bx^2$, $x \in \mathbb{R}$; $a, b \neq 0$. Ihr Schaubild ist $K_h$.
4.4 $K_h$ hat im Punkt $H(2|6)$ einen Hochpunkt.
Bestimmen Sie einen Funktionsterm von $h$. (5 Punkte)
Gegeben ist die Funktion g mit $g(x) = 2\cos(\frac{\pi}{2}x) + 3$, $x \in [0;6]$. Ihr Schaubild ist $K_g$.
4.5 Zeichnen Sie $K_g$.
Das Schaubild $K_g$ soll so in y-Richtung gestreckt werden, dass die Hochpunkte den y-Wert 7,5 haben. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für die gestreckte Kurve an. (5 Punkte)
4.6 $K_f$ und $K_g$ schneiden sich an den Stellen $x = 1$ und $x = 3$.
Berechnen Sie den Inhalt der zwischen $K_f$ und $K_g$ eingeschlossenen Fläche. (4 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem zeigt die Kurve $K_f$ einer nach unten geöffneten Parabel. Die x-Achse ist von 0 bis 3 skaliert, die y-Achse von 0 bis 6. Der Scheitelpunkt liegt bei etwa $(2, 6)$. Die Parabel schneidet die x-Achse zwischen 0 und 1 sowie zwischen 3 und 4. Ein Gitterraster ist hinterlegt.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir beginnen mit Aufgabe 4.1 und berechnen die Nullstellen der Funktion f.
4.1 Nullstellen berechnen
Um die pq-Formel anwenden zu können, teilen wir die gesamte Gleichung durch den Vorfaktor minus drei.
Mit p gleich minus vier und q gleich zwei setzen wir in die Lösungsformel ein.
Unter der Wurzel steht somit vier minus zwei.
Damit erhalten wir die zwei Nullstellen zwei plus und zwei minus Wurzel zwei.
In Aufgabe 4.2 bestimmen wir den Berührpunkt zwischen der Parabel und einer Geraden. Berühren bedeutet, dass Funktion und Gerade dieselbe Steigung haben.
4.2 Berührpunkt
Daher bilden wir beide ersten Ableitungen. Die Ableitung von f ist minus sechs x plus zwölf, und die Geradensteigung ist drei.
Wir setzen diese beiden Ausdrücke gleich, um die x-Koordinate des Berührpunktes zu finden.
Wenn wir zwölf auf die andere Seite bringen, erhalten wir minus sechs x gleich minus neun.
Teilen wir das durch minus sechs, ergibt sich für x eins Komma fünf.
Den zugehörigen y-Wert berechnen wir, indem wir x in die Geradengleichung einsetzen. Drei mal eins Komma fünf plus null Komma sieben fünf ist fünf Komma zwei fünf.
Der Berührpunkt hat demnach die Koordinaten eins Komma fünf und fünf Komma zwei fünf.
In Aufgabe 4.3 haben wir ein Dreieck, das zwischen den Koordinatenachsen und der Parabel aufgespannt ist. Hier sehen wir das Koordinatensystem mit dem Graphen der Funktion f.
4.3 Dreieck OPQ
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