$x^2 - |2x| < 48$ eşitsizliğini sağlayan tam sayıların sayısı

Selamlar. Bu soruda mutlak değerli bir ifade içeren ikinci dereceden bir eşitsizliği inceleyeceğiz ve bunu sağlayan kaç tane x tam sayısı olduğunu bulacağız.

Eşitsizliğimiz x kare eksi mutlak değer içinde iki x, küçüktür kırk sekiz şeklinde verilmiş. Mutlak değerin özelliklerini kullanarak işe başlayalım.

Öncelikle önemli bir özeliği hatırlayalım. Bir sayının karesi, o sayının mutlak değerinin karesine eşittir. Yani x kare yerine mutlak x'in karesi yazabiliriz.

Ayrıca mutlak değer içindeki iki çarpanını dışarı çıkaralım. Eşitsizliğimiz şu hale gelir.

Şimdi tüm terimleri bir tarafa toplayalım. Kırk sekizi sola eksi olarak atıyoruz.

Daha kolay çözmek için mutlak x ifadesine t diyelim. Bu durumda ifademiz t türünden ikinci dereceden bir eşitsizliğe dönüşür.

İfademiz t kare eksi iki t eksi kırk sekiz, küçüktür sıfır oldu.

Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları eksi kırk sekiz, toplamları eksi iki olan sayılar eksi sekiz ve artı altıdır.