Üçgenin Alanı ve Çevre İlişkisi

Merhaba Mina, bu geometri sorusunu birlikte çözelim. Elimizde kenarları mavi, siyah ve kırmızı olan bir dik üçgen var.

Şekil birdeki dik üçgenin kenarlarını isimlendirelim. Siyah kenara a, kırmızı kenara b ve mavi hipotenüse c diyelim.

Şekil birdeki üçgenin alanına A bir diyelim. Bu alan, taban çarpı yükseklik bölü iki formülünden, a çarpı b bölü ikidir.

Şekil ikide mavi parça, kırmızı kenar doğrultusunda yatırılmış. Bu durumda yeni taban c uzunluğunda olurken yükseklik a olarak kalmış.

Soru bize Şekil ikideki alanın, Şekil birdeki alandan doksan birimkare fazla olduğunu söylüyor. Yani A iki eksi A bir eşittir doksan.

Buradan, a çarpı parantez içinde c eksi b eşittir yüz seksen denklemini elde ederiz.

Şimdi Şekil üç değerlerine bakalım. Mavi parça, siyah kenar doğrultusunda yukarı döndürülmüş. Artık yükseklik c, taban ise hala b birimdir.

A üç alanının A bir alanına oranı dokuz bölü dört olarak verilmiş. Bu oranları sadeleştirdiğimizde c bölü a'nın dokuz bölü dört olduğunu görürüz.

Öyleyse c yerine dokuz k, a yerine dört k yazabiliriz.

Pisagor bağıntısını kullanarak b'yi k cinsinden bulalım. Dört k'nın karesi artı b'nin karesi eşittir dokuz k'nın karesi.

Buradan b kare eşittir altmış beş k kare çıkar. b ise kök altmış beş çarpı k olur. Ancak dokuz, kırk bir, kırk gibi bir tam sayı üçgeni aramalıyız.

Bir saniye, dokuz bölü dört oranını tekrar inceleyelim. Eğer c dokuz k ve a dört k ise b tam sayı çıkmıyor. Acaba başka bir özel üçgen mi var?

Aslında c bölü a oranı dokuz bölü dört ise, c eşittir dokuz k ve a eşittir dört k yerine, dokuz, kırk, kırk bir özel üçgenine göz atalım. Hayır, o da değil.

Küçük bir düzeltme yapalım. c bölü a dokuz bölü dört ise, a bölü c dört bölü dokuzdur. Elimizdeki diğer denklemi kullanalım: a çarpı parantez içinde c eksi b eşittir yüz seksen.

Bu değerler çok karmaşık görünüyor. Hemen oranlara tekrar bakalım. c bölü a eşittir 9 bölü 4. Bir dik üçgende hipotenüs her zaman dik kenardan büyüktür, bu yüzden 9/4 makul.