Üçgende Açı Bulma Problemi

MathematicsGeometry - Triangle PropertiesHard

Published:

Question

Şekildeki verilere göre $\alpha$ kaç derecedir?

$|BC| = |AD|$

$|AC| = |CD|$

$m(\widehat{ABC}) = 3\alpha$

$m(\widehat{CAD}) = 2\alpha$

$$\alpha = ?$$

This question includes visual content: A large triangle ABD is divided by a line segment AC into two smaller triangles, ABC and ACD. The following markings and labels are present: 1) Point A is the top vertex, B is the bottom-left, C is on the bottom segment, and D is the bottom-right. 2) Side BC is marked with a double-tick mark. 3) Side AC is marked with a single-tick mark. 4) Side AD is marked with a double-tick mark. 5) Side CD is marked with a single-tick mark. 6) Angle ABC is labeled as $3\alpha$. 7) Angle CAD is labeled as $2\alpha$. 8) An arc is shown at angle ADC but no value is written inside it. 9) Above the triangle, it asks '$\alpha = ?$' as a goal.

Animated Video Solution

The first half plays free, the full solution is in the app.

Step by Step Written Solution

1
Step 1

Merhaba! Bugün karşımızda klasik ama oldukça güzel bir geometri sorusu var. Şekilde verilenlere göre alfa açısının kaç derece olduğunu bulacağız.

Geometri Sorusu:

3α2αABCD
2
Step 2

Öncelikle şekilde AC ve CD kenarlarındaki tek çizgileri görüyoruz. Bu eşitlik, A C D üçgeninin ikizkenar olduğunu gösterir.

3
Step 3

İkizkenar üçgende eşit kenarları gören açılar eşittir. Bu yüzden D açısı da, C A D açısı gibi iki alfa olur.

4
Step 4

Şimdi A C D üçgeninde C köşesindeki dış açıya bakalım. Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır. Böylece A C B açısı dört alfaya eşit olur.

5
Step 5

Soruda ayrıca B C ve A D kenarlarının eşit olduğu işaretlenmiş. İşlem kolaylığı için eşit olan A C ve C D uzunluklarına y, B C ve A D uzunluklarına ise x diyelim.

6
Step 6

Şimdi elde ettiğimiz bilgileri kullanarak Sinüs Teoreminden faydalanacağız.

Sinüs Teoremi Uygulaması

7
Step 7

Önce A B C üçgenine bakalım. İç açıları üç alfa ve dört alfa olduğu için geriye kalan tepe açısı yüz seksen eksi yedi alfadır. Sinüs teoremini uygulayalım.

$$\frac{x}{\sin(180^\circ - 7\alpha)} = \frac{y}{\sin(3\alpha)}$$
8
Step 8

Sinüs yüz seksen eksi yedi alfa, sinüs yedi alfaya eşittir. Oranları x bölü y biçiminde kolaylık için yalnız bırakalım.

9
Step 9

Benzer şekilde bu sefer A C D üçgeni için Sinüs Teoremini uygulayalım. Bu üçgende bir açı yüz seksen eksi dört alfa iken, karşısındaki kenar x'tir.

$$\frac{x}{\sin(180^\circ - 4\alpha)} = \frac{y}{\sin(2\alpha)}$$
10
Step 10

Burada da ifadeyi düzenleyip x bölü y oranını elde edelim.

11
Step 11

Her iki denklemin sol tarafı x bölü y olduğuna göre, sağ taraflarını birbirine eşitleyebiliriz.

$$\frac{\sin(7\alpha)}{\sin(3\alpha)} = \frac{\sin(4\alpha)}{\sin(2\alpha)}$$
12
Step 12

Ulaştığımız bu yeni denklemi çözmek için trigonometrik özdeşliklerden faydalanacağız.

Trigonometrik Denklemin Çözümü

$$\frac{\sin(7\alpha)}{\sin(3\alpha)} = \frac{\sin(4\alpha)}{\sin(2\alpha)}$$

The rest of this solution is on Solvi

12 more steps are locked. Watch the full animated, narrated solution for free.

Snap a photo, solve any question like this.

Download on the App Store Get it on Google Play

Free to download · First solutions are on us

100K+Questions solved daily
50K+Students learning
4.8 ★App Store rating

About This Question

Subject
Mathematics
Topic
Geometry - Triangle Properties
Difficulty
Hard
Question Type
Open Ended

Similar Questions

Üçgende Açı-Kenar İlişkisi Geometry - Triangle Properties · Easy ABC Üçgeninde Kenarortay Hesabı Geometry - Triangle Properties · Easy Üçgende Yükseklik Kavramı Geometry - Triangle Properties · Easy Üçgende Dış Açı ve İç Açı İlişkisi Geometry - Triangle Properties · Medium

Solve any question in seconds

Snap a photo and AI explains it step by step with voice and animation.

Download on the App Store Get it on Google Play
Solvi
The full solution is in the appFree to download · First solutions are on us
Get