Türevlenebilir Fonksiyon ve Diferansiyel Denklem

Merhaba, bugün türev ve integral bağlantısını kurmamızı gerektiren çok şık ve öğretici bir soru çözeceğiz.

Öncelikle soruda bize verilen eşitliği tahtaya yazalım.

Bu denklemin ilk iki terimine dikkatlice baktığımızda, bunun aslında x çarpı ev x'in türevi olduğunu fark etmeliyiz.

Üçüncü terim olan x kare çarpı ev kare x ifadesini de, x çarpı ev x'in parantez karesi şeklinde yazabiliriz.

İfadeleri daha sade görmek adına değişken değiştirelim ve x çarpı ev x'e u diyelim.

Denklemi u ve u'nun türevi cinsinden tekrar yazarsak çok daha tanıdık bir diferansiyel denklem elde ederiz.

Şimdi elde ettiğimiz bu diferansiyel denklemi adım adım çözelim.

İşlemleri kolaylaştırmak için türev ifadesi olan u üssü yerine, d u bölü d x yazalım.

Amacımız değişkenleri ayırmak. Bunun için u kareyi eşitliğin sağ tarafına atalım.

U'lu terimleri sol tarafa, x'li terimleri sağ tarafa toplayarak değişkenleri tam olarak ayıralım.

Artık eşitliğin her iki tarafının integralini alarak u fonksiyonunu x cinsinden bulabiliriz.

Bir bölü u karenin integrali eksi bir bölü u'dur. Sağ tarafta ise eksi birin x'e göre integrali eksi x yapar. İntegral sabitimiz olan c'yi de eklemeyi unutmayalım.

Her iki tarafı eksi bir ile çarparak ifadeyi düzenleyelim.