Temperaturverlauf von Kaffee: Modellierung mit Exponentialfunktionen
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Aufgabe 3
(30 Punkte)
Ein Gasthaus in Grönland hat sowohl einen beheizten Innenbereich als auch einen unbeheizten Außenbereich und serviert in beiden Bereichen heißen Kaffee.
Zur Beschreibung der Temperatur (in $^\circ C$) einer servierten Tasse Kaffee in den jeweiligen Bereichen werden modellhaft die Funktionen $T_1$ und $T_2$ mit
$$T_1(t) = -12 + ae^{-0,1t} \text{ und } T_2(t) = 23 + 67e^{-0,1t}$$ betrachtet.
Dabei ist jeweils $t \in [0;20]$ die Zeit (in Minuten) und $a$ hat den Wert 102.
3.1 Begründen Sie, dass $a$ den angegebenen Wert haben muss, damit beide Funktionen auch die Temperatur eines frisch servierten Kaffees beschreiben. (2 Punkte)
3.2 Zeichnen Sie die Schaubilder der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. (5 Punkte)
3.3 Begründen Sie, welche der beiden Funktionen den Temperaturverlauf im Innenraum und welche den im Außenbereich beschreibt. (2 Punkte)
3.4 Angenommen wird eine Trinktemperatur von $40^\circ C$.
Berechnen Sie den Unterschied zwischen den Zeiten, zu denen die Trinktemperatur in den beiden Modellen jeweils erreicht wird. (5 Punkte)
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Abkühlung von Kaffee in zwei verschiedenen Umgebungen. Wir haben zwei Funktionen für die Temperatur über die Zeit gegeben.
Thermodynamik: Kaffeetemperatur
Zuerst sollen wir begründen, warum die Konstante a den Wert einhundert zwei haben muss, damit beide Kaffees frisch serviert die gleiche Temperatur haben.
3.1 Anfangstemperatur bestimmen
Frisch serviert bedeutet zum Zeitpunkt t gleich null. Berechnen wir also die Starttemperatur für die zweite Funktion.
Da e hoch null gleich eins ist, ergibt sich dreiundzwanzig plus siebenundsechzig gleich neunzig Grad Celsius.
Diese Temperatur muss auch für die erste Funktion gelten. Wir setzen also T eins von null gleich neunzig.
Umgeformt ergibt das minus zwölf plus a gleich neunzig. Wenn wir zwölf addieren, erhalten wir für a den Wert einhundert zwei.
Als nächstes schauen wir uns bei Aufgabenteil drei punkt drei an, welche Funktion zu welchem Bereich gehört: Innenraum oder unbeheizter Außenbereich.
3.3 Zuordnung der Funktionen
Wir betrachten das Verhalten für eine sehr lange Zeit. Wenn t gegen unendlich geht, nähert sich der Term mit der e-Funktion gegen null.
Die Temperatur nähert sich also der Umgebungstemperatur an. Für T eins sind das minus zwölf Grad und für T zwei plus dreiundzwanzig Grad.
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