Temperaturmodellierung von Kaffee
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Aufgabe 3
(30 Punkte)
Ein Gasthaus in Grönland hat sowohl einen beheizten Innenbereich als auch einen unbeheizten Außenbereich und serviert in beiden Bereichen heißen Kaffee. Zur Beschreibung der Temperatur (in $^\circ C$) einer servierten Tasse Kaffee in den jeweiligen Bereichen werden modellhaft die Funktionen $T_1$ und $T_2$ mit
$$T_1(t) = -12 + ae^{-0,1t} \text{ und } T_2(t) = 23 + 67e^{-0,1t}$$
betrachtet. Dabei ist jeweils $t \in [0;20]$ die Zeit (in Minuten) und $a$ hat den Wert $102$.
3.1 Begründen Sie, dass $a$ den angegebenen Wert haben muss, damit beide Funktionen auch die Temperatur eines frisch servierten Kaffees beschreiben. (2 Punkte)
3.2 Zeichnen Sie die Schaubilder der beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. (5 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Abkühlung von Kaffee in zwei verschiedenen Bereichen eines Gasthauses in Grönland. Wir haben zwei Funktionen für die Temperatur nach t Minuten gegeben.
Aufgabe 3: Temperaturmodellierung
Schauen wir uns zunächst Teilaufgabe drei punkt eins an. Wir sollen begründen, warum die Konstante a den Wert einhundertundzwei haben muss, damit beide Funktionen den frisch servierten Kaffee beschreiben.
3.1 Begründung für den Wert von a
Ein frisch servierter Kaffee bedeutet, dass wir den Zeitpunkt t gleich null betrachten. Zu diesem Zeitpunkt muss die Anfangstemperatur in beiden Modellen gleich sein, da es sich um denselben Kaffee handelt.
Berechnen wir zuerst die Anfangstemperatur aus der zweiten Funktion. Wir setzen null für t ein.
Da e hoch null gleich eins ist, ergibt sich dreiundzwanzig plus siebenundsechzig gleich neunzig Grad Celsius.
Nun setzen wir diesen Wert in die erste Gleichung für t gleich null ein, um a zu bestimmen.
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