Anwendung von Exponentialfunktionen: Smartphone-Betriebssysteme
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Ein Unternehmen produziert Betriebssysteme für Smartphones. Alle Smartphone-Besitzer können diese Betriebssysteme nutzen. Im September 2019 veröffentlichte das Unternehmen das Betriebssystem 4.0 als Nachfolger des Betriebssystems 3.0. Weitere Betriebssysteme sind ebenfalls am Markt und werden genutzt.
Die Funktion $g$ mit $g(t) = -80 \cdot e^{-0,023 \cdot t} + 80, \, t \ge 0$ beschreibt durch $g(t)$ den Anteil der 4.0-Nutzer in Prozent zum Zeitpunkt $t$.
Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen, $t = 0$ entspricht dem 1. September 2019.
2.4 Skizzieren Sie das Schaubild von $g$. Wie viel Prozent der Smartphone-Besitzer werden niemals 4.0 nutzen? Ermitteln Sie den Anteil der 4.0-Nutzer nach 60 Tagen. Zu welchem Zeitpunkt hat die Hälfte der Smartphone-Besitzer 4.0 installiert? (8 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir die Verbreitung eines neuen Betriebssystems. Die Funktion g von t beschreibt den Anteil der Nutzer in Prozent in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen.
Modellierung der Nutzerzahlen
Zuerst überlegen wir uns, wie die Skizze aussieht. Bei t gleich null ist der Anteil null Prozent. Mit steigendem t nähert sich die Kurve asymptotisch einem Grenzwert an.
Die rote gestrichelte Linie zeigt uns, dass der Anteil niemals achtzig Prozent überschreitet. Das führt uns direkt zur nächsten Frage: Wie viele Nutzer werden das System niemals nutzen?
Um den Anteil derer zu finden, die das System niemals nutzen werden, betrachten wir den Grenzwert für t gegen unendlich. Da die Exponentialfunktion gegen null geht, bleibt achtzig Prozent als Sättigungsgrenze übrig.
Grenzwertbetrachtung
Wenn maximal achtzig Prozent das System nutzen, dann nutzen einhundert minus achtzig, also zwanzig Prozent, das System niemals.
Als nächstes berechnen wir den Anteil der Nutzer nach genau sechzig Tagen. Dazu setzen wir für t den Wert sechzig in unsere Funktion ein.
Anteil nach t = 60 Tagen
Rechnen wir den Exponenten aus. Null Komma null zwei drei mal sechzig ergibt eins Komma drei acht.
Wenn wir das in den Taschenrechner eingeben, erhalten wir ungefähr sechzig Komma sechs Prozent.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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