Analyse einer Markteinführung mittels Exponentialfunktion
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Ein Unternehmen produziert Betriebssysteme für Smartphones. Alle Smartphone-Besitzer können diese Betriebssysteme nutzen. Im September 2019 veröffentlichte das Unternehmen das Betriebssystem 4.0 als Nachfolger des Betriebssystems 3.0. Weitere Betriebssysteme sind ebenfalls am Markt und werden genutzt.
Die Funktion $g$ mit $g(t) = -80 \cdot e^{-0,023 \cdot t} + 80$, $t \ge 0$ beschreibt durch $g(t)$ den Anteil der 4.0-Nutzer in Prozent zum Zeitpunkt $t$.
Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen, $t = 0$ entspricht dem 1. September 2019.
2.4 Skizzieren Sie das Schaubild von $g$. Wie viel Prozent der Smartphone-Besitzer werden niemals 4.0 nutzen? Ermitteln Sie den Anteil der 4.0-Nutzer nach 60 Tagen. Zu welchem Zeitpunkt hat die Hälfte der Smartphone-Besitzer 4.0 installiert? (8 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe schauen wir uns die Verbreitung eines neuen Betriebssystems an. Wir haben eine Funktion g von t, die den Prozentsatz der Nutzer über die Zeit t in Tagen beschreibt.
Analyse der Funktion $g(t)$
Die Funktion lautet minus achtzig mal e hoch minus null komma null zwei drei t plus achtzig. Hierbei ist t gleich null der erste September zweitausendneunzehn.
Kommen wir zur ersten Frage: Wie viel Prozent der Besitzer werden niemals das neue System nutzen? Dazu betrachten wir den Grenzwert für t gegen unendlich.
1. Langfristiger Anteil
Da der Exponent negativ ist, geht die e-Funktion gegen null, wenn t gegen unendlich geht. Übrig bleibt also achtzig Prozent.
Wenn achtzig Prozent das System langfristig nutzen, dann werden zwanzig Prozent das neue System niemals nutzen. Das ist die Differenz zu hundert Prozent.
Als nächstes berechnen wir den Anteil der Nutzer nach sechzig Tagen. Wir setzen also sechzig für t in unsere Funktionsgleichung ein.
2. Anteil nach 60 Tagen
Der Exponent ergibt minus eins komma drei acht. Wenn wir das in den Taschenrechner eingeben, erhalten wir ungefähr sechzig beziehungsweise neunundfünfzig komma acht acht Prozent.
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