Stammfunktion und Funktionsbestimmung
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1.5 Berechnen Sie die Stammfunktion der Funktion $h$ mit $h(x) = 4 \sin(2x)$, $x \in \mathbb{R}$, deren Schaubild durch den Punkt $P(\pi | 1)$ verläuft. (4 Punkte)
1.6 Das Schaubild mit der Gleichung $y = a \cdot e^x + b$ schneidet die y-Achse in $S(0 | -1)$ und ihre waagrechte Asymptote hat die Gleichung $y = -3$. Bestimmen Sie $a$ und $b$. (4 Punkte)
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Hello. Today we will solve two calculus problems from this exam. Let's start with task one point five, where we need to find a specific antiderivative.
Aufgabe 1.5: Stammfunktion berechnen
We are given the function h of x equals four times the sine of two x. We need to find its antiderivative, capital H of x.
Recall that the antiderivative of sine of k x is negative one over k times the cosine of k x. Applying this rule here, we get...
Simplifying the coefficient, four times negative one-half gives us negative two. So the general antiderivative is negative two cosine of two x plus a constant C.
The problem states that the graph passes through the point P with coordinates pi and one. This means H of pi equals one.
Let's substitute pi into our function and set it equal to one to find the constant C.
The cosine of two pi is equal to one. So we have negative two times one plus C equals one.
Adding two to both sides, we find that C must be equal to three.
Finally, we write down the specific antiderivative by substituting C back into the equation.
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