Funktionsanalyse einer Exponentialfunktion
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Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = 0,5 e^{0,5x} - x + 1,5$ , $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_h$.
3.1 Zeichnen Sie $K_h$ für $-2 \le x \le 5$.
3.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunktes von $K_h$.
Das Schaubild $K_h$ soll verschoben werden:
a) in y-Richtung, so dass das Schaubild durch den Ursprung verläuft,
b) so, dass der Extrempunkt im Ursprung liegt.
Geben Sie jeweils einen neuen Funktionsterm an. (8 Punkte)
3.3 Prüfen Sie, ob die Tangente an $K_h$ in $x = 3$ einen positiven y-Achsenabschnitt hat. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion h von x gleich null komma fünf mal e hoch null komma fünf x minus x plus eins komma fünf. Wir werden den Extrempunkt berechnen, Verschiebungen untersuchen und eine Tangenteneigenschaft prüfen.
Untersuchung der Funktion $h(x)$
Zuerst berechnen wir die Koordinaten des Extrempunktes. Dafür benötigen wir die erste Ableitung der Funktion.
3.2 Extrempunkt berechnen
Wir wenden die Kettenregel auf den Exponentialterm an. Die Ableitung von e hoch null komma fünf x ist null komma fünf mal e hoch null komma fünf x.
Zusammengefasst ergibt das h strich von x gleich null komma zwei fünf mal e hoch null komma fünf x minus eins.
Für einen Extrempunkt muss die erste Ableitung null sein. Wir setzen also h strich von x gleich null.
Wir addieren eins auf beiden Seiten und dividieren dann durch null komma zwei fünf, was dasselbe ist wie eine Multiplikation mit vier.
Um nach x aufzulösen, wenden wir den natürlichen Logarithmus an.
Da null komma fünf ein Halb ist, multiplizieren wir mit zwei. x ist also gleich zwei mal l n von vier, was ungefähr zwei komma sieben sieben entspricht.
Nun berechnen wir den zugehörigen y-Wert, indem wir den x-Wert in die Ausgangsfunktion h einsetzen.
Der Term e hoch l n von vier vereinfacht sich zu vier. Damit erhalten wir zwei minus zwei l n vier plus eins komma fünf.
Das ergibt gerundet null komma sieben zwei. Der Extrempunkt liegt also bei zwei komma sieben sieben und null komma sieben zwei.
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