Funktionsuntersuchung einer Exponentialfunktion
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -2 \cdot e^{0,25x} + x + 3, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_f$.
3.4 Zeichnen Sie $K_f$ für $-5 \leq x \leq 8$.
Geben Sie die Gleichung der Asymptote an. (4 Punkte)
3.5 Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunktes von $K_f$ und untersuchen Sie, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
Geben Sie an, wie $K_f$ verschoben werden muss, damit der Extrempunkt auf der x-Achse liegt. (6 Punkte)
3.6 Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an $K_f$ an der Stelle $x = 0$.
(3 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion f von x gleich minus zwei mal e hoch null-komma-zwei-fünf x plus x plus drei. Wir werden die Asymptote bestimmen, den Extrempunkt berechnen und die Tangente an der Stelle x gleich null finden.
Zuerst schauen wir uns das asymptotische Verhalten an. Wenn x gegen minus unendlich geht, nähert sich der Exponentialterm gegen null an.
3.4 Asymptote
Übrig bleibt der lineare Teil x plus drei. Das bedeutet, das Schaubild nähert sich für sehr kleine x-Werte der Geraden y gleich x plus drei an.
Kommen wir zu Aufgabenteil drei-punkt-fünf. Um den Extrempunkt zu finden, benötigen wir die erste Ableitung.
3.5 Extrempunkte
Beim Ableiten nutzen wir die Kettenregel. Null-komma-zwei-fünf mal minus zwei ergibt minus null-komma-fünf. x abgeleitet ergibt eins.
Wir setzen die erste Ableitung gleich null, um die waagerechte Tangente zu finden.
Wir subtrahieren eins und teilen durch minus null-komma-fünf. Das ergibt e hoch null-komma-zwei-fünf x gleich zwei.
Nun wenden wir den natürlichen Logarithmus an und lösen nach x auf. Null-komma-zwei-fünf ist ein Viertel, also multiplizieren wir mit vier.
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