Kurvendiskussion und Integralrechnung einer ganzrationalen Funktion

In dieser Aufgabe untersuchen wir die Funktion f von x gleich minus x hoch vier plus acht x hoch drei minus achtzehn x quadrat plus siebenundzwanzig.

Zuerst zeigen wir, dass minus eins und drei Nullstellen der Funktion sind. Dafür setzen wir diese Werte einfach in die Funktionsgleichung ein.

Für x gleich minus eins berechnen wir den Funktionswert. Wir erhalten minus eins minus acht minus achtzehn plus siebenundzwanzig. Das ergibt null.

Ebenso setzen wir x gleich drei ein. Nach der Berechnung von minus einundachtzig plus zweihundertsechzehn minus einhundertundzweiundsechzig plus siebenundzwanzig erhalten wir ebenfalls null.

Als nächstes untersuchen wir den Graphen auf Extrempunkte. Dazu benötigen wir die erste und zweite Ableitung.

Wir setzen die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extremstellen zu finden. Wir können minus vier x ausklammern.

Der Term in den Klammern ist eine binomische Formel. Wir finden die Nullstellen x gleich null und x gleich drei.

Wir prüfen diese Stellen mit der zweiten Ableitung. Für x gleich null erhalten wir minus sechsunddreißig. Da dies kleiner als null ist, haben wir einen Hochpunkt bei null und siebenundzwanzig.

Bei x gleich drei ist die zweite Ableitung null. Da es sich um eine doppelte Nullstelle der ersten Ableitung handelt, liegt hier ein Sattelpunkt vor. Der Punkt ist drei null.