Rasyonel Eşitsizlik Çözüm Kümesi

Merhaba Ali! Bu harika matematik sorusunu seninle birlikte adım adım çözelim. Hazırsan başlayalım!

Öncelikle bize verilen eşitsizlik ifadesine bir göz atalım. Pay kısmında ikinci dereceden bir ifade, paydada ise birinci dereceden bir ifade var.

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi bize eksi sonsuzdan eksi sekize kapalı aralık, birleşim eksi ikiden dörde açık aralık olarak verilmiş.

Çözüm kümesindeki sınır değerler, eşitsizlikteki ifadelerin kökleridir. Bu sınır değerler eksi sekiz, eksi iki ve dörttür.

Şimdi pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak köklerini daha rahat görelim.

Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için, çarpımları eksi iki a olan ve toplamları eksi parantezinde a eksi iki olan iki sayı bulmalıyız.

Gördüğün gibi, eksi a ile artı ikinin çarpımı eksi iki a'dır. Toplamları ise eksi a artı iki, yani eksi parantezinde a eksi ikidir. O halde çarpanlarımız doğru.

Bu durumda payın köklerini sıfıra eşitleyerek bulabiliriz.

Buradan payın kökleri x eşittir a ve x eşittir eksi iki olarak bulunur.

Şimdi de paydanın köküne bakalım. Paydayı sıfır yapan x değeri bizim için tanımsızlık noktasıdır ve çözüm kümesinde dahil edilemez.

Çözüm kümemize tekrar baktığımızda, dört noktasının açık aralıkla dışlandığını, eksi sekiz ve eksi iki noktalarının ise kapalı aralıkla dahil edildiğini görüyoruz.

Paydanın kökü çözüm kümesine dahil edilemeyeceğine göre, buradaki açık sınır olan dört değeri mutlaka paydanın kökü olmalıdır. Yani b eşittir dört olmalıdır.