Quarter Circle and Triangle Problem
Yayınlanma:
18. Aşağıdaki şekilde O merkezli yarıçapı $r$ olan çeyrek çember ve AOB dik üçgeni verilmiştir. Buna göre $\lim_{x \to 0} |BC| \cdot |CA|$ limitinin değeri kaçtır? A) $r^2$ B) $\frac{3r}{2}$ C) $\frac{3r^2}{2}$ D) $2r$ E) $2r^2$
Soruda görsel içerik var: The image displays a geometric figure consisting of a right-angled triangle AOB (with the right angle at O) and a quarter circle centered at O with radius r. The arc starts from A (on the vertical leg) and ends at D (on the horizontal leg). A line segment from B (on the horizontal axis) intersects the arc at C. The angle at vertex B is marked as x. The triangle portion is filled with light yellow, and the circular sector region bounded by the triangle sides is blue.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ceyda, bu limit sorusunu trigonometrik oranları kullanarak adım adım çözelim.
Çeyrek Çember ve Limit Sorusu
Şekle baktığımızda O merkezli ve r yarıçaplı bir çeyrek çember görüyoruz. OA ve OD uzunluklarının r olduğunu hemen belirleyelim.
AOB dik üçgeninde, komşu kenar ve karşı kenar arasındaki ilişkiyi tanjant x ile ifade edebiliriz.
Buradan BO uzunluğunu r bölü tanjant x, yani r çarpı kotanjant x olarak buluruz.
Hipotenüs olan AB uzunluğunu ise sinüs x üzerinden yazalım. Sinüs x, r bölü AB'dir.
Yani AB uzunluğu r bölü sinüs x'e eşittir.
Şimdi C noktasının konumuna bakalım. C noktası çember üzerinde olduğu için OC yarıçaptır ve uzunluğu r'dir.
BOC üçgeninde C'den tabana bir dikme indirerek veya alan formülünden yararlanabiliriz, ancak daha kolayı BC'yi kosinüs teoremi ile bulmaktır. Fakat limit durumu için x'i 0'a götüreceğimizden yaklaşımımızı basitleştirelim.
BC ve CA uzunluklarını x cinsinden ifade edelim.
Tekrar AB uzunluğunu hatırlayalım. AC uzunluğu, AB'den BC'nin çıkarılmasıyla bulunur. Ancak C noktası hipotenüs üzerinde bir yerdedir.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
