Parabolo ve Doğrunun Kesişimi

Merhaba Kübra, bu parabol ve doğru kesişimi sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Metinde doğrunun eğiminin eksi bir olduğu, üzerine çizilen yuvarlakla vurgulanmış. Grafik pozitif eğimli gibi görünse de, bunun sadece temsili bir çizim olduğunu unutmayıp eğimi eksi bir olarak alacağız.

C noktası, d doğrusunun x eksenini kestiği yerdir. Bize de C noktasının apsisi soruluyor. Kolaylık olsun diye bu apsise k diyelim.

Eğimi eksi bir olan ve x eksenini k noktasında kesen doğrunun denklemini çıkarabiliriz. Doğru denklemi y eşittir eksi x artı k olmalıdır.

Şimdi parabol ile doğrunun kesişim noktaları olan A ve B'nin apsislerini bulmak için fonksiyonların denklemlerini birbirine eşitleyelim.

Eşitliğin sağındaki ifadeleri sola aldığımızda, ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

Bu denklemin kökleri A ve B noktalarının apsisleridir. Bunlara x a ve x b diyelim. Kökler toplamı kuralından, toplamlarının eksi bire eşit olduğunu görürüz.

Aynı zamanda kökler çarpımı kuralından da yararlanarak, x a çarpı x b'nin eksi k'ya eşit olduğunu buluruz.

Soru metninde A ve B arasındaki uzaklığın, B ve C arasındaki uzaklığın üç katı olduğu belirtilmiş.

Doğrumuz eksi bir eğimle sol üstten sağ alta doğru inmektedir. Noktaları soldan sağa x eksenine göre sıralarsak x a küçüktür x b küçüktür x c ilişkisi ortaya çıkar.

Aynı doğru üzerindeki noktaların aralarındaki mesafe oranı, yatay uzaklıklarının oranına eşittir. Bu yüzden apsislerin farkı da aynı oranı yani üçü vermelidir.

C noktasının apsisinin k olduğunu biliyoruz, denklemde yerine yazalım.

Eşitliğin sağ tarafındaki üçü paranteze dağıtalım.

Eksi üç x b'yi sola alırsak, dört x b eksi x a eşittir üç k bağıntısını elde ederiz.