Limit ve Türev Sorusu

Merhaba Hacı, bu güzel türev ve limit sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Burada n'nin bir tek doğal sayı olduğu belirtilmiş. Fonksiyonumuz ise tek kuvvetlerin toplamı şeklinde ilerliyor.

Bizden istenen limite bir bakalım. Bu ifade aslında f kare x fonksiyonunun bir noktasındaki türev tanımıdır.

L'Hopital kuralını uygulayarak ya da türev tanımını kullanarak bu limitin f kare x'in türevinin birdeki değeri olduğunu görebiliriz.

Zincir kuralını uygularsak, f kare x'in türevi iki çarpı f x çarpı f'in türevi x olur.

Şimdi elimizdeki f x fonksiyonunu kullanarak f bir ve f türev bir değerlerini hesaplayalım.

x yerine bir yazdığımızda, f bir değeri terim sayısı kadar birin toplamı olacaktır.

Buradaki terim sayısı nedir? Kuvvetler bir, üç, beş, şeklinde n'ye kadar gidiyor. Bu bir aritmetik dizidir.

Kuvvetler için son terim n, ilk terim bir ve artış miktarı ikidir.

Her terim bir olduğu için, f bir değeri doğrudan terim sayısına, yani n artı bir bölü ikiye eşittir.

Sıradaki adım türevi almak. f türev x'i hesaplayalım.