Kurvendiskussion und Flächenberechnung
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Die Funktion $g$ ist für $-2 \le x \le 6$ gegeben durch $g(x) = -1,5 \sin(x) - 2$. Ihr Schaubild ist $K_g$.
4.4 Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von $K_g$. Zeichnen Sie $K_g$. (7 Punkte)
4.5 Die Parabel $y = -x^2 + \pi x - 2$ umschließt mit $K_g$ im Intervall $[0; \pi]$ eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (4 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Funktion g von x gleich minus eins Komma fünf mal Sinus von x minus zwei. Zuerst finden wir die Extrem- und Wendepunkte.
Kurvendiskussion von $g(x)$
Um die Extremstellen zu finden, benötigen wir die erste Ableitung. Der Sinus wird zu Kosinus.
Wir setzen die erste Ableitung gleich null. Das führt uns zu der Gleichung Kosinus von x gleich null.
Im gegebenen Intervall von minus zwei bis sechs sind die Nullstellen des Kosinus bei Pi Halbe und drei Pi Halbe.
Nun berechnen wir die y-Werte. Für Pi Halbe erhalten wir minus drei Komma fünf, was ein Tiefpunkt ist. Für drei Pi Halbe erhalten wir minus null Komma fünf, ein Hochpunkt.
Als nächstes schauen wir uns die Wendepunkte an. Dafür brauchen wir die zweite Ableitung. Die Ableitung von Kosinus ist minus Sinus, also wird aus minus eins Komma fünf Kosinus x einfach eins Komma fünf Sinus x.
Wendepunkte berechnen
Die zweite Ableitung ist null, wenn Sinus von x null ist. Das passiert bei null und Pi.
Eingesetzt in die Ausgangsfunktion ergeben sich die y-Werte minus zwei. Wir haben also zwei Wendepunkte.
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