Köklü Sayılar Denklem Sorusu

Merhaba, bu soruda köklü sayılar ve tam sayı kavramlarını birlikte kullanacağımız güzel bir mantık yürütme işlemi yapacağız.

Soruda verilen eşitliği tahtamıza yazarak başlayalım.

Öncelikle a ve b'nin birer tam sayı olduğu verilmiş. Tam sayıların çarpımı ve farkı da yine bir tam sayı olacağından, eşitliğin sol tarafı kesinlikle bir tam sayıdır.

Sağ tarafa baktığımızda ise irrasyonel bir sayı olan kök beş çarpanını görüyoruz. Sağ tarafın da bir tam sayı olması mecburi.

İrrasyonel bir sayının herhangi bir sıfırdan farklı tam sayıyla çarpımı yine irrasyonel olur. Sonucun tam sayı, yani rasyonel olabilmesi için tek seçenek bu irrasyonel ifadeyi sıfır ile çarpmaktır.

Bu yüzden kök beşin yanındaki çarpanı, yani a eksi dört b'yi alıp sıfıra eşitliyoruz.

Eksi dört b'yi karşıya atarsak, a'nın dört b'ye eşit olduğunu buluruz. Bu birinci ipucumuz.

Eşitliğin sağ tarafı sıfırlandığı için sol tarafın da sıfıra eşit olması gerekir. Şimdi bunu yazalım.

On altıyı karşıya gönderdiğimizde, a çarpı b eşittir on altı şeklindeki ikinci önemli denklemimizi elde ediyoruz.

Şimdi bulduğumuz bu iki temel eşitliği kullanarak a ve b değerlerini çözelim.

İkinci denklemde, a gördüğümüz yere birinci denklemdeki karşılığı olan dört b'yi yazabiliriz.

Çarpmayı yaptığımızda dört b kare eşittir on altı olur.

Her iki tarafı dörde böldüğümüzde, b kare eşittir dört sonucuna ulaşırız.