Köklü İfadelerde Rasyonellik ve Çarpım

Selamlar. Bu soruda a ve b tam sayıları için tanımlanmış K ve L ifadelerini inceleyeceğiz. K artı L toplamının bir rasyonel sayı olduğunu biliyoruz.

K ve L değerlerini kök dışına çıkabilecek çarpanları gözeterek yeniden yazalım. Kök otuz iki, on altı çarpı iki olduğu için dört kök ikiye eşittir.

Aynı şekilde kök sekiz, dört çarpı iki olduğu için iki kök iki olarak dışarı çıkar.

Şimdi bu ifadeleri sadeleşmiş formlarıyla tekrar yazalım. K eşittir, a kök iki artı dört b kök iki olur.

L ise, iki a kök iki eksi b kök iki şeklinde ifade edilebilir.

Şimdi K artı L toplamını hesaplayalım. Tüm terimler kök iki parantezine alınabilir.

Benzer terimleri topladığımızda, a artı iki a'dan üç a, dört b eksi b'den ise üç b elde ederiz. Yani toplam, üç a artı üç b çarpı kök ikidir.

Soru bize bu toplamın bir rasyonel sayı olduğunu söylüyor. Kök iki irrasyonel olduğu için, katsayısı olan üç parantezinde a artı b'nin sıfıra eşit olması gerekir.

Buradan a artı b eşittir sıfır, yani a eşittir eksi b sonucuna ulaşıyoruz.

Bu bilgiyi kullanarak K ve L'yi tek bir değişken cinsinden yazalım. a yerine eksi b yazarsak, K eşittir eksi b kök iki artı dört b kök iki olur.